קוד:לכסון אוניטרי של מטריצות

\begin{thm}

מטריצה $A$ לכסינה אוניטרית (ז"א, קיימת מטריצה אוניטרית $P$ כך ש-$P^{-1}AP=P^tAP=D$ אלכסונית) אם ורק אם $p_A\left(x\right)$ מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים ו-$A$ מטריצה נורמלית.

\end{thm}

\begin{proof}

נתבונן באופרטור $T=L_A:\mathbb{F}^n\rightarrow\mathbb{F}^n$, המוגדר על ידי $T\left(v\right)=Av$. $T$ ניתן ללכסון אוניטרי אם ורק אם $A$ ניתנת ללכסון אוניטרית (כי מטריצת המעבר מבסיס אורתונורמלי לבסיס אורתונורמלי אחר היא אוניטרית, והמטריצה המייצגת של $T$ יחסית לבסיס הסטנדרטי היא $A$). לפי המשפט הקודם נקבל את מה שצריך להוכיח.

\end{proof}