קוד:מבחן ההשוואה הגבולי לטורים
\begin{thm}
יהיו הטורים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ ונניח ש- $\forall n : a_n,b_n\geq 0 $ אזי \begin{enumerate} \item אם $a_n=O(b_n) $ אז $\sum_{n=1}^\infty b_n<\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n<\infty $
\item אם $a_n=O^* (b_n) $ אז $\sum_{n=1}^\infty b_n<\infty \Leftrightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n<\infty $ \end{enumerate}
\end{thm}
\begin{remark} מההגדרות של סימני לנדאו מתקיים ש- $$a_n=O^*(b_n) \Leftrightarrow b_n=O^*(a_n) $$ ומכל אחד מהם נובע ש- $$a_n=O(b_n) , b_n=O(a_n) $$ מכאן שאם משפט 1 נכון ו- $a_n=O^* (b_n) $ אז משפט 2 מתקבל ישירות \end{remark}
\begin{proof}
$$\exists n_0 \forall n>n_0: a_n\leq M\cdot b_n $$ וגם $\sum_{n=1}^\infty b_n $ מתכנס ולכן $$\sum_{n=n_0}^\infty a_n\leq \sum_{n=n_0}^\infty M\cdot b_n = M\cdot\sum_{n=n_0}^\infty b_n $$ והטור האחרון מתכנס, ומזה מסיקים ש- $\sum_{n=n_0}^\infty a_n $ חסום מלעיל ולכן מתכנס. כעת רק נשאר לראות ש- $\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^{n_0-1} a_n + \sum_{n=n_0}^\infty a_n $ וזה כידוע, מתכנס. \end{proof}
\begin{cor}[מבחן ההשוואה הגבולי בצורתו המוכרת יותר]
יהיו הטורים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ ונניח ש- $\forall n : a_n,b_n\geq 0 $ וגם הגבול $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L $ קיים. אזי \begin{enumerate} \item אם $L=0 $ אז $\sum_{n=1}^\infty b_n <\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n <\infty $
\item אם $L\neq 0 $ הטורים "חברים", כלומר אחד מתכנס אם ורק אם השני מתכנס \end{enumerate}
\end{cor}
\begin{proof} \begin{enumerate} \item אם $L=0 $ אז $$\exists n_0 \forall n>n_0 : \frac{a_n}{b_n}<1 $$ ומכאן ש- $a_n=O(b_n) , n\to \infty $. כל מה שנשאר זה להשתמש במשפט הקודם וסיימנו.
\item אם $L\neq 0 $ אז $$\exists n_0 \forall n>n_0 :\frac{a_n}{b_n}<2L $$ ולכן מהעברת אגפים $a_n=O(b_n) $ . מצד שני כיוון ש- $L\neq 0 $ אז אפשר לעשות את אותו טריק על $\frac{b_n}{a_n} $ והגבול $\frac{1}{L}$ ולקבל ש- $b_n=O(a_n) $ . עכשיו שוב אפשר להפעיל את המשפט הקודם ולקבל את הדרוש. \begin{enumerate} \end{proof}
\begin{example} נסתכל על $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{an+b} $ עבור $0\neq a,b$ קבועים. נראה ש- $$\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{an+b}}=a $$ ולכן, ממבחן ההשוואה הגבולי, הטור הזה "חבר" של הטור ההרמוני שמתבדר, ומכאן שהטור מתבדר. \end{example}
