הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:מבחן ההשוואה הגבולי לטורים"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "\underline{משפט:} יהיו הטורים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ ונניח ש- $\forall n : a_n,b_n\geq 0 $ אזי 1. אם $a_n=O(b...")
 
שורה 1: שורה 1:
−
\underline{משפט:} יהיו הטורים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ ונניח ש- $\forall n : a_n,b_n\geq 0 $ אזי
+
\begin{thm}
  
−
1. אם $a_n=O(b_n),n\to\infty $ אז $\sum_{n=1}^\infty b_n<\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n<\infty $
+
יהיו הטורים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ ונניח ש- $\forall n : a_n,b_n\geq 0 $ אזי
 +
\begin{enumerate}
 +
\item אם $a_n=O(b_n) $ אז $\sum_{n=1}^\infty b_n<\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n<\infty $
  
−
2. אם $a_n=O^* (b_n),n\to\infty $ אז $\sum_{n=1}^\infty b_n<\infty \Leftrightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n<\infty $
+
\item אם $a_n=O^* (b_n) $ אז $\sum_{n=1}^\infty b_n<\infty \Leftrightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n<\infty $
 +
\end{enumerate}
  
−
\underline{הוכחה:} קודם כל נשים לב שאם 1 מתקיים ו- $a_n=O^* (b_n) $ אז גם $b_n=O^* (a_n) $ וזה אומר שגם $a_n=O(b_n) $ וגם $b_n=O(a_n) $. אם נשתמש עכשיו במשפט 1, משפט 2 מגיע ישירות. כעת נוכיח את 1:
+
\end{thm}
  
−
$\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} a_n\leq M\cdot b_n $ וגם $\sum_{n=1}^\infty b_n $ מתכנס ולכן $\sum_{n=n_0}^\infty a_n\leq \sum_{n=n_0}^\infty M\cdot b_n = M\cdot\sum_{n=n_0}^\infty b_n $ והטור האחרון מתכנס, ומזה מסיקים ש- $\sum_{n=n_0}^\infty a_n $ חסום מלעיל ולכן מתכנס. כעת רק נשאר לראות ש- $\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^{n_0-1} a_n + \sum_{n=n_0}^\infty a_n $ וזה כידוע, מתכנס.  
+
\begin{remark}
−
$\\$
+
מההגדרות של סימני לנדאו מתקיים ש-
−
\underline{מסקנה: משפט ההשוואה הגבולי בצורתו המוכרת}
+
$$a_n=O^*(b_n) \Leftrightarrow b_n=O^*(a_n) $$
 +
ומכל אחד מהם נובע ש-
 +
$$a_n=O(b_n) , b_n=O(a_n) $$
 +
מכאן שאם משפט 1 נכון ו- $a_n=O^* (b_n) $ אז משפט 2 מתקבל ישירות
 +
\end{remark}
 +
 
 +
\begin{proof}
 +
 
 +
$$\exists n_0 \forall n>n_0: a_n\leq M\cdot b_n $$
 +
וגם $\sum_{n=1}^\infty b_n $ מתכנס ולכן
 +
$$\sum_{n=n_0}^\infty a_n\leq \sum_{n=n_0}^\infty M\cdot b_n = M\cdot\sum_{n=n_0}^\infty b_n $$
 +
והטור האחרון מתכנס, ומזה מסיקים ש- $\sum_{n=n_0}^\infty a_n $ חסום מלעיל ולכן מתכנס. כעת רק נשאר לראות ש- $\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^{n_0-1} a_n + \sum_{n=n_0}^\infty a_n $ וזה כידוע, מתכנס.  
 +
\end{proof}
 +
 
 +
\begin{cor}[מבחן ההשוואה הגבולי בצורתו המוכרת יותר]
  
 
יהיו הטורים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ ונניח ש- $\forall n : a_n,b_n\geq 0 $ וגם הגבול $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L $ קיים. אזי
 
יהיו הטורים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ ונניח ש- $\forall n : a_n,b_n\geq 0 $ וגם הגבול $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L $ קיים. אזי
 +
\begin{enumerate}
 +
\item אם $L=0 $ אז $\sum_{n=1}^\infty b_n <\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n <\infty $
  
−
1. אם $L=0 $ אז $\sum_{n=1}^\infty b_n <\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n <\infty $
+
\item אם $L\neq 0 $ הטורים "חברים", כלומר אחד מתכנס אם ורק אם השני מתכנס
 +
\end{enumerate}
  
−
2. אם $L\neq 0 $ הטורים "חברים", כלומר אחד מתכנס אם ורק אם השני מתכנס
+
\end{cor}
  
−
\underline{הוכחה:}
+
\begin{proof}
 +
\begin{enumerate}
 +
\item אם $L=0 $ אז
 +
$$\exists n_0 \forall n>n_0 : \frac{a_n}{b_n}<1 $$ ומכאן ש- $a_n=O(b_n) , n\to \infty $. כל מה שנשאר זה להשתמש במשפט הקודם וסיימנו.
  
−
1. אם $L=0 $ אז $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} \frac{a_n}{b_n}<1 $ ומכאן ש- $a_n=O(b_n) , n\to \infty $. כל מה שנשאר זה להשתמש במשפט הקודם וסיימנו.
+
\item אם $L\neq 0 $ אז
 +
$$\exists n_0 \forall n>n_0 :\frac{a_n}{b_n}<2L $$
 +
ולכן מהעברת אגפים $a_n=O(b_n) $ . מצד שני כיוון ש- $L\neq 0 $ אז אפשר לעשות את אותו טריק על $\frac{b_n}{a_n} $ והגבול $\frac{1}{L}$ ולקבל ש- $b_n=O(a_n) $ . עכשיו שוב אפשר להפעיל את המשפט הקודם ולקבל את הדרוש.
 +
\begin{enumerate}
 +
\end{proof}
  
−
2. אם $L\neq 0 $ אז $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} \frac{a_n}{b_n}<2L $ ולכן מהעברת אגפים $a_n=O(b_n) $ . מצד שני כיוון ש- $L\neq 0 $ אז אפשר לעשות את אותו טריק על $\frac{b_n}{a_n} $ והגבול $\frac{1}{L}$ ולקבל ש- $b_n=O(a_n) $ . עכשיו שוב אפשר להפעיל את המשפט הקודם ולקבל את הדרוש.
+
\begin{example}
−
$\\$
+
נסתכל על $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{an+b} $ עבור $0\neq a,b$ קבועים. נראה ש-
−
דוגמה: נסתכל על $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{an+b} $ עבור $0\neq a,b$ קבועים. נראה ש- $\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{an+b}}=a $ ולכן, ממבחן ההשוואה הגבולי, הטור הזה "חבר" של הטור ההרמוני שמתבדר, ומכאן שהטור מתבדר.
+
$$\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{an+b}}=a $$
 +
ולכן, ממבחן ההשוואה הגבולי, הטור הזה "חבר" של הטור ההרמוני שמתבדר, ומכאן שהטור מתבדר.
 +
\end{example}

גרסה מ־11:33, 3 בספטמבר 2014

\begin{thm}

יהיו הטורים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ ונניח ש- $\forall n : a_n,b_n\geq 0 $ אזי \begin{enumerate} \item אם $a_n=O(b_n) $ אז $\sum_{n=1}^\infty b_n<\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n<\infty $

\item אם $a_n=O^* (b_n) $ אז $\sum_{n=1}^\infty b_n<\infty \Leftrightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n<\infty $ \end{enumerate}

\end{thm}

\begin{remark} מההגדרות של סימני לנדאו מתקיים ש- $$a_n=O^*(b_n) \Leftrightarrow b_n=O^*(a_n) $$ ומכל אחד מהם נובע ש- $$a_n=O(b_n) , b_n=O(a_n) $$ מכאן שאם משפט 1 נכון ו- $a_n=O^* (b_n) $ אז משפט 2 מתקבל ישירות \end{remark}

\begin{proof}

$$\exists n_0 \forall n>n_0: a_n\leq M\cdot b_n $$ וגם $\sum_{n=1}^\infty b_n $ מתכנס ולכן $$\sum_{n=n_0}^\infty a_n\leq \sum_{n=n_0}^\infty M\cdot b_n = M\cdot\sum_{n=n_0}^\infty b_n $$ והטור האחרון מתכנס, ומזה מסיקים ש- $\sum_{n=n_0}^\infty a_n $ חסום מלעיל ולכן מתכנס. כעת רק נשאר לראות ש- $\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^{n_0-1} a_n + \sum_{n=n_0}^\infty a_n $ וזה כידוע, מתכנס. \end{proof}

\begin{cor}[מבחן ההשוואה הגבולי בצורתו המוכרת יותר]

יהיו הטורים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ ונניח ש- $\forall n : a_n,b_n\geq 0 $ וגם הגבול $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L $ קיים. אזי \begin{enumerate} \item אם $L=0 $ אז $\sum_{n=1}^\infty b_n <\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n <\infty $

\item אם $L\neq 0 $ הטורים "חברים", כלומר אחד מתכנס אם ורק אם השני מתכנס \end{enumerate}

\end{cor}

\begin{proof} \begin{enumerate} \item אם $L=0 $ אז $$\exists n_0 \forall n>n_0 : \frac{a_n}{b_n}<1 $$ ומכאן ש- $a_n=O(b_n) , n\to \infty $. כל מה שנשאר זה להשתמש במשפט הקודם וסיימנו.

\item אם $L\neq 0 $ אז $$\exists n_0 \forall n>n_0 :\frac{a_n}{b_n}<2L $$ ולכן מהעברת אגפים $a_n=O(b_n) $ . מצד שני כיוון ש- $L\neq 0 $ אז אפשר לעשות את אותו טריק על $\frac{b_n}{a_n} $ והגבול $\frac{1}{L}$ ולקבל ש- $b_n=O(a_n) $ . עכשיו שוב אפשר להפעיל את המשפט הקודם ולקבל את הדרוש. \begin{enumerate} \end{proof}

\begin{example} נסתכל על $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{an+b} $ עבור $0\neq a,b$ קבועים. נראה ש- $$\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{an+b}}=a $$ ולכן, ממבחן ההשוואה הגבולי, הטור הזה "חבר" של הטור ההרמוני שמתבדר, ומכאן שהטור מתבדר. \end{example}

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=קוד:מבחן_ההשוואה_הגבולי_לטורים&oldid=56380