*תשובה: אז קודם כל, אפשר לקבל הפניה לסיכומי ההרצאות האלה של שנת תשע"ב? כי אני ממש לא מבינה מה עושה שם איזו' 3!... לגבי איך עושים את זה דרך איזו' 1: נגדיר הומומורפיזם <math>f: D_4 \rightarrow <\sigma^2></math> על-ידי (למשל) <math>f(id)=f(\sigma)=f(\sigma^2)=f(\sigma^3)= id</math> ואת שאר האיברים נשלח ל-<math>\sigma^2</math>. קל לראות שהגרעין הוא בדיוק <math><\sigma></math> ולפי איזו' 1 מתקיים הדרוש. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] ([[שיחת משתמש:לואי פולב|שיחה]]) 09:09, 4 בדצמבר 2013 (EST)
*המשך תשובה: קודם כל, זה צריך להיות "<math>\mathbb Z_3</math> איזומורפי ל-<math>\mathbb Z_6 / 3\mathbb Z_6 </math>" ולא <math>\mathbb Z_2</math>. שנית, זו לא הוכחה, אלא דרך להראות איך "מציבים" דברים בתוך משפט איזו' 3. שכן כל שלב בתוך ההצבה הזאת דורש הוכחה נפרדת (רוב השלבים לפי איזו' 1). --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] ([[שיחת משתמש:לואי פולב|שיחה]]) 04:17, 5 בדצמבר 2013 (EST)
== שאלה של התרגול הקודם וקשורה גם לתרגיל 7 ==
הייתה שאלה בתרגול כאשר דיברנו על מחלקות צמידות, למצוא את מספר התמורות הצמודות ל-
(78)(56)(1234) וכתבת שהתשובה הינה (1 2)(2 4)*3!(4 8) כל זה כפול חצי. אז כנראה לא
הבנתי למה הכפל ב3! והחילוק בשתיים
*תשובה: אז קודם צריך לבחור מחזור באורך 4. יש 8 מעל 4 אפשרויות לבחור ארבעה מספרים, ואז צריך לסדר אותם במעגל (כי תמורה זה כמו מעגל: מתקיים
(1234)=(2341)=(3412)=(4123)...)
ובאופן כללי יש <math>(n-1)!</math> דרכים לסדר <math>n</math> פריטים במעגל.
לגבי "חלקי 2": זה בגלל שאין חשיבות לסדר של המחזורים מאורך 2, כי מבחינת הצמידות, הם נמצאים באותה מחלקה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] ([[שיחת משתמש:לואי פולב|שיחה]]) 03:39, 9 בדצמבר 2013 (EST)
== המשפט הקטן של פרמה. כמה שאלות בנוגע לשלבים בהוכחה שלו ==
המשפט הקטן של פרמה אומר שלכל מספר ראשוני <math>p</math> ולכל מספר שלם <math>a</math> מתקיים:
<math>a^{p}\equiv a(mod p)</math> וזה שקול ללהגיד: <math>p|a^{p}-a</math>.
הוכחה:
<math>p</math> ראשוני ולכן <math>\phi (p)=p-1</math>.
(אני רוצה לוודא שהבנתי למה השורה האחרונה נכונה:
<math>\phi p</math> מוגדר להיות מספר המספרים הטבעיים שקטנים ממש מ-<math>p</math> ושזרים ל-<math>p</math>.
<math>p</math> ראשוני ולכן כל המספרים שקטנים ממנו, זרים לו.
למשל עבור <math>p=7</math> נקבל ש- <math>\phi (7)=|\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}|=7-1=6</math>.
'''האם הבנתי נכון?''')
המשך הוכחה:
לכן <math>\mathbb{Z}_{p}-\left \{ 0 \right \}</math> היא מסדר <math>p-1</math>.
(שאלה: <math>\mathbb{Z}_{p}-\left \{ 0 \right \}</math> היא חבורה ביחס לכפל מודולו <math>p</math> או חיבור מודולו <math>p</math> ??? )
המשך הוכחה:
לפי משפט אוילר, אם <math>(a,p)=1</math> אז <math>a^{p-1}\equiv 1(modp)</math>.
לאחר כפל שניי אגפי המשוואה ב-<math>a</math> יוצא ש
<math>a^{p}\equiv a(modp)</math> כאשר <math>(a,p)=1</math>.
איך ממשיכים את ההוכחה עבור המקרה ש- <math>(a,p)\neq 1</math> ????
: הפעולה בחבורת אוילר היא כפל (<math>\mathbb{Z}_{p}-\left \{ 0 \right \}</math> אינה סגורה לחיבור!). אי אפשר להשתמש במשפט אוילר כדי להוכיח את משפט פרמה, שקדם לו במאה שנים. ההוכחה (של שניהם) היא להפעיל את משפט לגרנז' על חבורת אוילר מהסדר המתאים.
: במקרה ש-a אינו זר ל-p, בהכרח p מחלק את a ולכן p מחלק כל חזקה של a וממילא גם את ההפרש a^p-a. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] ([[שיחת משתמש:עוזי ו.|שיחה]]) 12:17, 21 בדצמבר 2013 (EST)
== שאלה ==
בהינתן חבורה G ותת חבורה H, מתקיים שכל המחלקות של H הן שוות עוצמה? כלומר הן מאותו סדר?
: כן -- כל הקוסטים של H הם מאותו סדר. הסיבה היא ש- <math>\ x \mapsto gx</math> מהווה איזומורפיזם של קבוצות מ-H ל-gH. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] ([[שיחת משתמש:עוזי ו.|שיחה]]) 12:20, 21 בדצמבר 2013 (EST)
== תמורות ==
<math>G=S_{3}</math>.
כלומר ב-<math>G=G=\left \{ \begin{pmatrix}
1 &2 &3 \\
1 &2 &3
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1 &2 &3 \\
1 &3 &2
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1 &2 &3 \\
2 &3 &1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1 &2 &3 \\
2 &1 &3
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1 &2 &3 \\
3 &1 &2
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1 &2 &3 \\
3 &2 &1
\end{pmatrix} \right \}</math>
למה <math>H=<(1,2)></math> היא תת חבורה של <math>G</math> ? למה זו בכלל תת קבוצה של <math>G</math>???
מי האיברים של <math>H</math> ???
: יש שתי דרכים לסמן תמורה: אחת באופן מפורש כפי שמנית לעיל, והשניה כמכפלה של מחזורים זרים. כשכותבים (12) הכוונה היא לתמורה המעבירה את 1 ל-2, את 2 ל-1, ואת 3 ל-3. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] ([[שיחת משתמש:עוזי ו.|שיחה]]) 12:21, 21 בדצמבר 2013 (EST)
== שאלה לגבי המושג "מוגדר היטב" ==
בהינתן חבורה <math>G</math> ותת חבורה <math>H</math> , מגדירים את חבורת המנה
<math>G\H</math> שהיא אוסף הקוסטים השמאליים של <math>H</math> ב-<math>G</math>.
כעת, רוצים להגדיר פעולה על האיברים באוסף הזה (שהאיברים האלה הם למעשה קבוצות).
בחרו להגדיר את הפעולה כך: עבור שניי איברים בחבורת המנה: <math>g1H,g2H</math> מגדירים פעולה באופן הבא:
<math>(g1H)(g2H)=g1g2H</math>.
כעת שואלים האם הכפל הזה מוגדר היטב.
יש לי כמה שאלות:
1. לא הבנתי מה זה אומר בכלל המושג "מוגדר היטב".
2. באילו מצבים צריך לבדוק האם פעולה "מוגדרת היטב".
3. למה חשוב לבדוק האם פעולה "מוגדרת היטב".
4. מבחינה טכנית, איך בודקים האם פעולה מוגדרת היטב? למשל בשאלה הספציפית הזו, איך אני מוכיח שפעולה מוגדרת היטב? קראתי את ההוכחה מההרצאה ואני לא מבין ממנה שום דבר.
אודה על העזרה.
: הטענה שמשהו "מוגדר היטב" פירושה שההגדרה שלפנינו היא תקינה. יש לבדוק זאת *עבור כל הגדרה*, אלא שבדרך כלל הבדיקה כל-כך טריוויאלית עד שאין מזכירים אותה. לדוגמא, כשמגדירים פונקציה מ-X ל-Y, יש לבדוק שהתהליך המחשב את התמונה פועל לכל x ב-X (אין "חילוק באפס" או צרות דומות), שהוא לא תלוי בהטלת קוביה או בחירות אחרות שעושים בדרך, ושהוא אכן נותן איבר של Y. אם הבדיקה הזו נכשלת, פירושו של דבר הוא שאנחנו *אומרים* שהגדרנו, אבל זה פשוט לא נכון. במקרה של כפל מחלקות, שים לב שהנוסחה הנתונה משתמשת בנציגים --- אבל כל מחלקה אפשר להציג על-ידי נציגים שונים, ולכן יש לבדוק שהחלפת הנציגים אינה משנה את התשובה.
: (מה שקראת אינו ההוכחה מההרצאה בשלמותה, אלא ההעתקה החלקית שלה למחברת של אחד הסטודנטים). [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] ([[שיחת משתמש:עוזי ו.|שיחה]]) 12:26, 21 בדצמבר 2013 (EST)
== שאלה ==
<math>G=\mathbb{Z}</math> ו- <math>H=n\mathbb{Z}</math>.
<math>H</math> תת חבורה נורמלית של <math>G</math> כי <math>G</math> אבלית.
<math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\left \{ a+n\mathbb{Z}:a\in \mathbb{Z} \right \}
=\left \{ n\mathbb{Z},1+n\mathbb{Z},2+n\mathbb{Z},... \right \}</math>
לכן האיברים בחבורה <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> הם מהצורה:
<math>s+n\mathbb{Z}</math> כאשר <math>0\leq s\leq n-1</math>.
כעת, מבצעים פעולת חיבור על שניי איברים <math>(s1+n\mathbb{Z}) , \left ( s2+n\mathbb{Z} \right )</math> של חבורת המנה <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>.
מה שלא ברור לי זה למה תוצאת החיבור היא: <math>(s1+n\mathbb{Z}) + \left ( s2+n\mathbb{Z} \right )=(s1+t1)(modn)+n\mathbb{Z}</math>
ולא <math>(s1+n\mathbb{Z}) + \left ( s2+n\mathbb{Z} \right )=(s1+t1+2n\mathbb{Z})(modn)</math>
??
לא אמורים לחבר ובסוף, על התוצאה של החיבור הרגיל, לעשות מודולו <math>n</math>?
ושאלה שנייה:
למה <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}n</math>
: תרגיל: הוכח ש- <math>n\mathbb{Z}+n\mathbb{Z} = n\mathbb{Z}</math> (ולא <math>2n\mathbb{Z}</math>). מדובר כאן בחיבור קבוצות, המוגדר כקבוצת כל הערכים שאפשר לקבל מסיכום נציג מכל קבוצה.
: לשאלה השניה: אני מניח שהכוונה היא ל-<math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}_n</math>. זוהי דוגמא פשוטה למשפט האיזומורפיזם הראשון. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] ([[שיחת משתמש:עוזי ו.|שיחה]]) 13:30, 21 בדצמבר 2013 (EST)
== עזרה בהוכחת הטענה הבאה: ==
<math>f:G\rightarrow H</math> איזומורפיזם אם ורק אם קיימת העתקה
<math>g:H\rightarrow G</math> כך שמתקיים:
<math>g\circ f=id_{G} \wedge f\circ g=id_{H}</math>.
אפשר עזרה בהוכחה הזו. האמת זה נראה לי משפט שקשור לנושא של פונקציות מבדידה. איך אני מוכיח את זה?
: ראשית, יש לתקן את הטענה תיקון קל: <math>f:G\rightarrow H</math> הוא איזומורפיזם אם ורק אם קיים הומומורפיזם <math>g:H\rightarrow G</math> כך שמתקיים...". בבדידה מוכיחים טענה דומה: "פונקציה <math>f:G\rightarrow H</math> היא חד-חד-ערכית ועל אם ורק אם קיימת פונקציה <math>g:H\rightarrow G</math> כך שמתקיים: <math>g\circ f=id_{G} \wedge f\circ g=id_{H}</math>". [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] ([[שיחת משתמש:עוזי ו.|שיחה]]) 12:31, 21 בדצמבר 2013 (EST)
== תרגיל 9 שאלה 6 ==
בפתרון לשאלה 6 רשום כי <math>G/C(H)</math> היא חבורה מסדר חזקת p. לכן <math>|G/C(H)|=1</math>.
אפשר בבקשה הסבר לשורה זו.
תודה
* החבורה המקורית <math>G</math> היא חבורת <math>p</math> ולכן גם חבורת מנה שלה היא חבורת <math>p</math>. מצד שני, חבורת המנה <math>G/C(H)</math> משוכנת בחבורת אוטומורפיזמים מסדר <math>p-1</math> , מה שאומר שהסדר שלה, <math>p^t</math> כלשהו, חייב לחלק את <math>p-1</math>. האפשרות היחידה לכך היא במצב <math>p^t=1</math>. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] ([[שיחת משתמש:לואי פולב|שיחה]]) 07:47, 23 בינואר 2014 (EST)
== תרגיל 10 שאלה 4 סעיף א ==
בפתרון התרגיל נכתב כי לפי משפט האיזומורפיזם השני <math>[H:H\cap\ K]=[HK:K]</math>.
האם אנו יודעים כי <math>K\triangleleft\ HK</math>?
או שזה לא נכון ולא נחוץ?
* זה לא נחוץ. העניין הוא שמאיזומורפיזם שני אנו מקבלים את הטענה האנלוגית <math>[K:H\cap\ K]=[HK:H]</math>. לאחר מכן מקבלים את הטענה הכתובה בפתרון באמצעות כפליות האינדקס. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] ([[שיחת משתמש:לואי פולב|שיחה]]) 05:55, 24 בינואר 2014 (EST)
ז"א שלא בהכרח <math>H/H\cap\ K\cong\ HK/K</math> משום שאנו לא יודעים כי <math>HK/K</math> בכלל קיימת?
*בדיוק כך! כחבורות זה לא מוגדר, אבל כאינדקסים (הראנו את זה, נדמה לי, בתרגיל בית 6) השוויון כן מתקיים. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] ([[שיחת משתמש:לואי פולב|שיחה]]) 07:28, 24 בינואר 2014 (EST)
== תרגיל 11 שאלה 2 ==
בפתרון השאלה הגדרנו:
<math>=S</math> אוסף תת-חבורות p-סילו של G
<math>=P</math> תת-חבורת p-סילו כלשהי של G
ואז נדרשנו להתבונן בפעולה <math>S\times P\rightarrow S</math> על ידי הצמדה.
לא הצלחתי להבין מי היא החבורה הפועלת ומהו אופי הפעולה.
* יש לך טעות בהעתקה.. יכול להיות שזו הבעיה?... הפעולה היא לא <math>S\times P\rightarrow S</math> אלא <math>P\times S\rightarrow S</math>. החבורה הפועלת היא חבורת p-סילו כלשהי <math>P</math>, והיא פועלת על אוסף של תת חבורות p-סילו על-ידי הצמדה. כלומר, היא לוקחת תת חבורה כלשהי <math>Q</math> ומחזירה <math>gQg^{-1}</math> עבור <math>g \in P</math> כלשהו. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] ([[שיחת משתמש:לואי פולב|שיחה]]) 12:55, 28 בינואר 2014 (EST)
נכון, טעות שלי. תודה!
== תרגיל 7 שאלה 6 ==
אפשר בבקשה לקבל הסבר- למה יש 2^3 אפשרויות עבור סיגמא בריבוע/ טאו/ וכו...? לא הבנתי את החישוב... תודהה:)
* כנראה שציור יעזור כאן הרבה יותר, אבל ננסה. למשל לגבי השיקוף <math>\tau</math>, הוא "מזהה" שני קודקודים עליונים ושני קודקודים תחתונים של הריבוע. יש שלושה צבעים, שני הקודקודים העליונים צריכים להיות צבועים באותו הצבע (כי השיקוף מעביר אחד מהם לשני) ולכן יש 3 אפשרויות לבחירת צבע עבור שני קודקודים אלה. כנ"ל לגבי הקודקודים התחתונים. לכן יש <math>3\cdot 3</math> אפשרויות סה"כ עבור השיקוף.--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] ([[שיחת משתמש:לואי פולב|שיחה]]) 05:51, 19 בפברואר 2014 (EST)