איך ממשיכים את ההוכחה עבור המקרה ש- <math>(a,p)\neq 1</math> ????
: הפעולה בחבורת אוילר היא כפל (<math>\mathbb{Z}_{p}-\left \{ 0 \right \}</math> אינה סגורה לחיבור!). אי אפשר להשתמש במשפט אוילר כדי להוכיח את משפט פרמה, שקדם לו במאה שנים. ההוכחה (של שניהם) היא להפעיל את משפט לגרנז' על חבורת אוילר מהסדר המתאים.
: במקרה ש-a אינו זר ל-p, בהכרח p מחלק את a ולכן p מחלק כל חזקה של a וממילא גם את ההפרש a^p-a. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] ([[שיחת משתמש:עוזי ו.|שיחה]]) 12:17, 21 בדצמבר 2013 (EST)
== שאלה ==
בהינתן חבורה G ותת חבורה H, מתקיים שכל המחלקות של H הן שוות עוצמה? כלומר הן מאותו סדר?
: כן -- כל הקוסטים של H הם מאותו סדר. הסיבה היא ש- <math>\ x \mapsto gx</math> מהווה איזומורפיזם של קבוצות מ-H ל-gH. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] ([[שיחת משתמש:עוזי ו.|שיחה]]) 12:20, 21 בדצמבר 2013 (EST)
== תמורות ==
מי האיברים של <math>H</math> ???
: יש שתי דרכים לסמן תמורה: אחת באופן מפורש כפי שמנית לעיל, והשניה כמכפלה של מחזורים זרים. כשכותבים (12) הכוונה היא לתמורה המעבירה את 1 ל-2, את 2 ל-1, ואת 3 ל-3. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] ([[שיחת משתמש:עוזי ו.|שיחה]]) 12:21, 21 בדצמבר 2013 (EST)
== שאלה לגבי המושג "מוגדר היטב" ==
בחרו להגדיר את הפעולה כך: עבור שניי איברים בחבורת המנה: <math>g1H,g2H</math> מגדירים פעולה באופן הבא:
<math>(g1H)(g2H)=g1g2H</math>.
כעת שואלים הם האם הכפל הזה מוגדר היטב.
יש לי כמה שאלות:
3. למה חשוב לבדוק האם פעולה "מוגדרת היטב".
4. מבחינה טכנית, איך בודקים האם פעולה מוגדרת היטב? למשל בשאלה הספציפית הזו, איך אני בודק אם הפעולה מוכיח שפעולה מוגדרת היטב?קראתי את ההוכחה מההרצאה ואני לא מבין ממנה שום דבר.
אודה על העזרה.
: הטענה שמשהו "מוגדר היטב" פירושה שההגדרה שלפנינו היא תקינה. יש לבדוק זאת *עבור כל הגדרה*, אלא שבדרך כלל הבדיקה כל-כך טריוויאלית עד שאין מזכירים אותה. לדוגמא, כשמגדירים פונקציה מ-X ל-Y, יש לבדוק שהתהליך המחשב את התמונה פועל לכל x ב-X (אין "חילוק באפס" או צרות דומות), שהוא לא תלוי בהטלת קוביה או בחירות אחרות שעושים בדרך, ושהוא אכן נותן איבר של Y. אם הבדיקה הזו נכשלת, פירושו של דבר הוא שאנחנו *אומרים* שהגדרנו, אבל זה פשוט לא נכון. במקרה של כפל מחלקות, שים לב שהנוסחה הנתונה משתמשת בנציגים --- אבל כל מחלקה אפשר להציג על-ידי נציגים שונים, ולכן יש לבדוק שהחלפת הנציגים אינה משנה את התשובה.
: (מה שקראת אינו ההוכחה מההרצאה בשלמותה, אלא ההעתקה החלקית שלה למחברת של אחד הסטודנטים). [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] ([[שיחת משתמש:עוזי ו.|שיחה]]) 12:26, 21 בדצמבר 2013 (EST)
== שאלה ==
??
לא אמורים לחבר ובסוף, על התוצאה של החיבור הרגיל, לעשות מודולו <math>n</math>?
ושאלה שנייה:
למה <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}n</math>
: תרגיל: הוכח ש- <math>n\mathbb{Z}+n\mathbb{Z} = n\mathbb{Z}</math> (ולא <math>2n\mathbb{Z}</math>). מדובר כאן בחיבור קבוצות, המוגדר כקבוצת כל הערכים שאפשר לקבל מסיכום נציג מכל קבוצה.
: לשאלה השניה: אני מניח שהכוונה היא ל-<math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}_n</math>. זוהי דוגמא פשוטה למשפט האיזומורפיזם הראשון. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] ([[שיחת משתמש:עוזי ו.|שיחה]]) 13:30, 21 בדצמבר 2013 (EST)
== עזרה בהוכחת הטענה הבאה: ==
<math>f:G\rightarrow H</math> איזומורפיזם אם ורק אם קיימת העתקה
<math>g:H\rightarrow G</math> כך שמתקיים:
<math>g\circ f=id_{G} \wedge f\circ g=id_{H}</math>.
אפשר עזרה בהוכחה הזו. האמת זה נראה לי משפט שקשור לנושא של פונקציות מבדידה. איך אני מוכיח את זה?
: ראשית, יש לתקן את הטענה תיקון קל: <math>f:G\rightarrow H</math> הוא איזומורפיזם אם ורק אם קיים הומומורפיזם <math>g:H\rightarrow G</math> כך שמתקיים...". בבדידה מוכיחים טענה דומה: "פונקציה <math>f:G\rightarrow H</math> היא חד-חד-ערכית ועל אם ורק אם קיימת פונקציה <math>g:H\rightarrow G</math> כך שמתקיים: <math>g\circ f=id_{G} \wedge f\circ g=id_{H}</math>". [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] ([[שיחת משתמש:עוזי ו.|שיחה]]) 12:31, 21 בדצמבר 2013 (EST)
== תרגיל 9 שאלה 6 ==
בפתרון לשאלה 6 רשום כי <math>G/C(H)</math> היא חבורה מסדר חזקת p. לכן <math>|G/C(H)|=1</math>.
אפשר בבקשה הסבר לשורה זו.
תודה
* החבורה המקורית <math>G</math> היא חבורת <math>p</math> ולכן גם חבורת מנה שלה היא חבורת <math>p</math>. מצד שני, חבורת המנה <math>G/C(H)</math> משוכנת בחבורת אוטומורפיזמים מסדר <math>p-1</math> , מה שאומר שהסדר שלה, <math>p^t</math> כלשהו, חייב לחלק את <math>p-1</math>. האפשרות היחידה לכך היא במצב <math>p^t=1</math>. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] ([[שיחת משתמש:לואי פולב|שיחה]]) 07:47, 23 בינואר 2014 (EST)
== תרגיל 10 שאלה 4 סעיף א ==
בפתרון התרגיל נכתב כי לפי משפט האיזומורפיזם השני <math>[H:H\cap\ K]=[HK:K]</math>.
האם אנו יודעים כי <math>K\triangleleft\ HK</math>?
או שזה לא נכון ולא נחוץ?
* זה לא נחוץ. העניין הוא שמאיזומורפיזם שני אנו מקבלים את הטענה האנלוגית <math>[K:H\cap\ K]=[HK:H]</math>. לאחר מכן מקבלים את הטענה הכתובה בפתרון באמצעות כפליות האינדקס. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] ([[שיחת משתמש:לואי פולב|שיחה]]) 05:55, 24 בינואר 2014 (EST)
ז"א שלא בהכרח <math>H/H\cap\ K\cong\ HK/K</math> משום שאנו לא יודעים כי <math>HK/K</math> בכלל קיימת?
*בדיוק כך! כחבורות זה לא מוגדר, אבל כאינדקסים (הראנו את זה, נדמה לי, בתרגיל בית 6) השוויון כן מתקיים. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] ([[שיחת משתמש:לואי פולב|שיחה]]) 07:28, 24 בינואר 2014 (EST)
== תרגיל 11 שאלה 2 ==
בפתרון השאלה הגדרנו:
<math>=S</math> אוסף תת-חבורות p-סילו של G
<math>=P</math> תת-חבורת p-סילו כלשהי של G
ואז נדרשנו להתבונן בפעולה <math>S\times P\rightarrow S</math> על ידי הצמדה.
לא הצלחתי להבין מי היא החבורה הפועלת ומהו אופי הפעולה.
* יש לך טעות בהעתקה.. יכול להיות שזו הבעיה?... הפעולה היא לא <math>S\times P\rightarrow S</math> אלא <math>P\times S\rightarrow S</math>. החבורה הפועלת היא חבורת p-סילו כלשהי <math>P</math>, והיא פועלת על אוסף של תת חבורות p-סילו על-ידי הצמדה. כלומר, היא לוקחת תת חבורה כלשהי <math>Q</math> ומחזירה <math>gQg^{-1}</math> עבור <math>g \in P</math> כלשהו. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] ([[שיחת משתמש:לואי פולב|שיחה]]) 12:55, 28 בינואר 2014 (EST)
נכון, טעות שלי. תודה!
== תרגיל 7 שאלה 6 ==
אפשר בבקשה לקבל הסבר- למה יש 2^3 אפשרויות עבור סיגמא בריבוע/ טאו/ וכו...? לא הבנתי את החישוב... תודהה:)
* כנראה שציור יעזור כאן הרבה יותר, אבל ננסה. למשל לגבי השיקוף <math>\tau</math>, הוא "מזהה" שני קודקודים עליונים ושני קודקודים תחתונים של הריבוע. יש שלושה צבעים, שני הקודקודים העליונים צריכים להיות צבועים באותו הצבע (כי השיקוף מעביר אחד מהם לשני) ולכן יש 3 אפשרויות לבחירת צבע עבור שני קודקודים אלה. כנ"ל לגבי הקודקודים התחתונים. לכן יש <math>3\cdot 3</math> אפשרויות סה"כ עבור השיקוף.--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] ([[שיחת משתמש:לואי פולב|שיחה]]) 05:51, 19 בפברואר 2014 (EST)