שיחה:88-211 תשעד סמסטר א/תרגילים

תרגיל 1, שאלה 6

לגבי השאלה האחרונה, אני לא יודעת איך להוכיח את האיזומורפיות.

כלומר אני לא יודעת איזו פונקציה להגדיר כך שתתאים. גם איך לעשות אם אני לא יודעת מה זה (M,.)

הכוונה למונואיד הראשון שמופיע לא לשני.

אפשר לקבל כיוון? תודה

חשבתי אולי F(b)=ab

• תשובה: $(M, \cdot)$ הוא מונואיד כלשהו, אנחנו גם לא צריכים לדעת מהו. באמצעות מונואיד זה, אנחנו מגדירים מונואיד חדש, $(M, * )$. האיברים שלו הם אותם האיברים, אבל הפעולה שונה. על מנת להוכיח שהם איזומורפיים, יש להגדיר פונקציה $F: (M,*) \rightarrow (M, \cdot )$. הפונקציה הזאת צריכה להיות, קודם כל, הומומורפיזם (של מונואידים). כלומר היא צריכה לקיים $F(x*y)=F(x)\cdot F(y)$ (שימו לב שהפעולה בשני האגפים היא שונה, בהתאם למונואיד שבו הפעולה מתבצעת).

בנוסף, היא צריכה להעביר את איבר היחידה של המונואיד הראשון לאיבר היחידה של המונואיד השני. אז גם אם לא מצליחים מיד לנחש את הפונקציה, זהו מקום טוב להתחיל. היזכרו שבתרגול כבר הראינו מיהו איבר היחידה של $(M,*)$, אז תנסו לנחש פונקציה שתשלח אותו לאיבר היחידה של $(M,\cdot)$. --לואי 19:06, 21 באוקטובר 2013 (IDT)

תרגיל 1 שאלה 5

בתרגיל מוגדר כפל ב-S כאשר S היא הקבוצה עליה מוגדרת הפעולה. אני משער שהכוונה היא לכפל ב-s (קטנה), אם לא אז אשמח לדעת כיצד מוגדר כפל של איבר בקבוצה בקבוצה עצמה.

אם זו אכן טעות מקלדת אז יש לי שאלה אחרת... אם נתבונן בקבוצה {0,1} ונגדיר שכפל כל שני איברים בה יתן 0 נקבל חבורה למחצה שמקיימת את תנאי השאלה אבל אינה מונואיד- היכן הטעות שלי?

תודה

• תשובה: זהו אכן כפל של איבר בכל הקבוצה, והוא מוגדר באופן הבא: $aS=\{ ax: x\in S \}$.--לואי 16:30, 22 באוקטובר 2013 (IDT)