שיחה:88-211 תשעד סמסטר א/תרגילים

תרגיל 1, שאלה 6

לגבי השאלה האחרונה, אני לא יודעת איך להוכיח את האיזומורפיות.

כלומר אני לא יודעת איזו פונקציה להגדיר כך שתתאים. גם איך לעשות אם אני לא יודעת מה זה (M,.)

הכוונה למונואיד הראשון שמופיע לא לשני.

אפשר לקבל כיוון? תודה

חשבתי אולי F(b)=ab

• תשובה: $(M, \cdot)$ הוא מונואיד כלשהו, אנחנו גם לא צריכים לדעת מהו. באמצעות מונואיד זה, אנחנו מגדירים מונואיד חדש, $(M, * )$. האיברים שלו הם אותם האיברים, אבל הפעולה שונה. על מנת להוכיח שהם איזומורפיים, יש להגדיר פונקציה $F: (M,*) \rightarrow (M, \cdot )$. הפונקציה הזאת צריכה להיות, קודם כל, הומומורפיזם (של מונואידים). כלומר היא צריכה לקיים $F(x*y)=F(x)\cdot F(y)$ (שימו לב שהפעולה בשני האגפים היא שונה, בהתאם למונואיד שבו הפעולה מתבצעת).

בנוסף, היא צריכה להעביר את איבר היחידה של המונואיד הראשון לאיבר היחידה של המונואיד השני. אז גם אם לא מצליחים מיד לנחש את הפונקציה, זהו מקום טוב להתחיל. היזכרו שבתרגול כבר הראינו מיהו איבר היחידה של $(M,*)$, אז תנסו לנחש פונקציה שתשלח אותו לאיבר היחידה של $(M,\cdot)$. --לואי 19:06, 21 באוקטובר 2013 (IDT)

תרגיל 1 שאלה 5

בתרגיל מוגדר כפל ב-S כאשר S היא הקבוצה עליה מוגדרת הפעולה. אני משער שהכוונה היא לכפל ב-s (קטנה), אם לא אז אשמח לדעת כיצד מוגדר כפל של איבר בקבוצה בקבוצה עצמה.

אם זו אכן טעות מקלדת אז יש לי שאלה אחרת... אם נתבונן בקבוצה {0,1} ונגדיר שכפל כל שני איברים בה יתן 0 נקבל חבורה למחצה שמקיימת את תנאי השאלה אבל אינה מונואיד- היכן הטעות שלי?

תודה

• תשובה: זהו אכן כפל של איבר בכל הקבוצה, והוא מוגדר באופן הבא: $aS=\{ ax: x\in S \}$.--לואי 16:30, 22 באוקטובר 2013 (IDT)

שאלה כללית - תרגיל 3 שאלה 3

אז רציתי לדעת באופן כללי,איך את מחשבת את איברי החבורה שנוצרים ע"י איברים מסוימים.למשל,בשאלה 3 של ש.ב האחרונים,אני לא כ"כ הבנתי את מצאת את האיברים בחבורה(שני הסעיפים בכלל).איך עושים כדי כדי למצוא איברי חבורה בחהורות סימטריה?

• תשובה: אז קודם כל את שואלת גם על סעיף א', ואני לא בטוחה שאני מבינה את השאלה.... לגבי סעיף ב': החישוב שנעשה שם הוא חישוב ישיר של כל המכפלות. כלומר, אנחנו יודעים שהאיברים בחבורה הנוצרת על-ידי $a,b$ הם מהצורה $a^ib^ja^k...$ וכד'. אז קודם כל חישבנו את החזקות של כל אחד מהיוצרים (הראשון מסדר 2 והשני מסדר 3) ואז התחלנו להכפיל אותם (עם החזקות ובלי) משני הצדדים עד אשר ראינו שמיצינו את כל האפשרויות וניתן לעצור. כרגע, זו הדרך היחידה שלנו למצוא את האיברים בחבורות כאלה. --לואי (שיחה) 12:07, 11 בנובמבר 2013 (EST)

תרגיל 3, שאלה 2, סעיף ב'

מדוע מתקיים α^t=β^t =id? למה השיוון של החזקות מתקיים?

• תשובה: נניח שזה לא מתקיים. זה אומר ש- $\alpha^t$ הוא ההופכי של $\beta^t$. אבל שימו לב שזה לא אפשרי, כי אם $\alpha, \beta$ זרים, אז גם כאשר מעלים אותם בחזקה הם נשארים זרים. ומחזורים זרים אינם יכולים להיות הופכי אחד של השני, שכן ההופכי של מחזור $(i_1 i_2 i_3 ... i_n)$ הוא $(i_n i_{n-1} ... i_2 i_1)$.--לואי (שיחה) 12:03, 11 בנובמבר 2013 (EST)

המשך לשאלה שלי תרגיל 3 שאלה 3

סימני הדולר האלה עושים לי שחור בעיניים...בעצם את אומרת שמתקיים: α=(145)(263) וגם עבור β=(15)(36) אזי:

              α^3=id
              β^2=id 

שזה נכון,אני מסכימה. אבל גם מחשבים בנוסף

β,α,α^2,αβ,α^2*β,?

• תשובה: כן, מחשבים את כל האפשרויות האלה... ובקשר לסימני הדולר: ניסית לפתוח את האתר בדפדפן שונה? --לואי (שיחה) 06:49, 12 בנובמבר 2013 (EST)

שאלה תרגיל 3 סעיף א בשאלה 3

איך להסביר שהדוגמה לאיזומורפיזם זה אכן איזומורפיזם?זה לא טריוויאלי מכיוון שלכל איבר מתאים איבר אחר וכדומה?

בעצם לא משנה הבנתי למה.על זה טריוויאלי וזה חח"ע כי בהרכבה שתי החבורות או קבוצות לצורך העניין הן מסדר סופי עם מספר זהה של איברים

• תשובה: דווקא יש להסביר משהו אחר ממה שציינתם. נסמן לרגע את האיברים של חבורת קליין ב-$1,a_1,a_2,a_3$. ברור שהפונקציה שהגדרנו היא חח"ע ועל, אבל זה לא מספיק. מה שצריך להראות (ודווקא בכלל לא ברור מההגדרה של הפונקציה) זה שהיא למעשה הומומורפיזם. כלומר, יש להראות שמתקיים $f(a_1a_2)=f(a_1)f(a_2)$ וכד'. --לואי (שיחה) 13:16, 15 בנובמבר 2013 (EST)

כלומר לדוגמה שמתקיים:

f((13)(24))* f((14)(23))=35=3(mod8 f((13)(24)(14)(23))=f((12)(34))=3(mod8

נכון?

• כן

כפל של שתי מטריצות בתרגיל 2 שאלה 3

האם אפשר לעשות את זה כך בסעיף א כדי להראות כי G תת חבורה?

ראינו את הכפל של שתי מטריצות שנמצאות ב-G בתרגיל 1 שאלה 4 וכמו כן גם את ההופכי. האם אפשר להסביר כי כל אחד מהאיברים שמעל האלכסון הראשי שייך ל-Zֹ3 כי שלוש האפשרויות לבחירת המספרים האלה (נניח d+a( תמיד תביא לכך שהסכום של זה יהיה 0 או 1 או 2 וכך הלאה? וכמובן לעשות זאת גם בהופכי?

• מקווה שהבנתי את השאלה, אם כי לא בטוח. אכן ראינו את רוב התכונות כבר בתרגיל 1. כדי להסביר שרכיבי המטריצות (לאחר מכפלה והיפוך) נמצאים ב-$\mathbb Z_3$ מספיק לומר שזו חבורה, ולכן סגורה לפעולה ולהופכי (הנגדי, במקרה של ההופכי שלנו). --לואי (שיחה) 05:23, 18 בנובמבר 2013 (EST)

הסבר מדוע יש רק תת חבורה אחת מסדר 5 ב-D5

הסבר הולם שאפשר לתת לכך שתת החבורה הנוצרת ע"י סיגמה היא היחידה מסדר 5 היא מכיוון שמיצינו את שאר האפשרויות?כלומר אין תת חבורה מסדר 5 עם איבר מהצורה של תאו סיגמה בחזקת ג"י כלשהו כי הם איברים של תת חבורות מסדר 2?

• כדי שתהיה לנו תת חבורה ציקלית מסדר 5, צריך שיהיה איבר מסדר 5. אבל כל האיברים מסדר 5 כבר נמצאים בתת החבורה שמצאנו (זו שנוצרת על-ידי הסיבוב).--לואי (שיחה) 02:38, 25 בנובמבר 2013 (EST)

שאלה 1 א', תרגיל 5

מדוע מתקיים $b(a/b+\mathbb Z)=a+\mathbb Z$ זה לא אמור להיות שווה ל-$a+b \mathbb Z$? שכן $b \mathbb Z$ אמורה להיות תת חבורה לא אבל אין שיווין ממש...

• תשובה: שימו לב שזו לא פתיחת סוגריים! זו פעולה בחבורת המנה! זה כתוב בכתיב חיבורי, אך בכתיב כפלי זה שקול ל:

$(aH)^b=a^bH$. כלומר, לא מעלים גם את $H$ בחזקה, כי לא כך מוגדרת הפעולה על איברי חבורת המנה. --לואי (שיחה) 04:40, 1 בדצמבר 2013 (EST)

שאלה 5 א', תרגיל 5

לא הבנתי את המניע לאיזומורפיות של $D_4 / <\sigma>$ ל- $<\sigma^2>$. האם זה נובע כי שתיהן מסדר 2?

• תשובה: בדיוק! הן מסדר 2, וכפי שמצויין בסוגריים - יש רק חבורה אחת (עד כדי איזומורפיזם) מסדר 2. --לואי (שיחה) 04:40, 1 בדצמבר 2013 (EST)

אם נניח הייתי רוצה להשתמש במשפט האיזומורפיזם השלישי , אז איך נעשה? הכוונה שלי לאיזומורפיות שאלה 5 סעיף א

• תשובה: בקשר לאיזומורפיזם שלישי, אולי התכוונת לאיזומורפיזם ראשון? אחרת אני לא מבינה את השאלה. ואם אכן הכוונה לאיזומורפיזם ראשון, אז מה השאלה? האם השאלה היא איך בונים את האיזומורפיזם?...--לואי (שיחה) 09:01, 3 בדצמבר 2013 (EST)

לא כ"כ הבנתי מה הפירוש של חבורה יחידה עד כדי איזומורפיזם... למה מה שקיבלנו לא יכול להיות איזומורפי ל-Z2 למשל?

• תשובה: "חבורה יחידה עד כדי איזומורפיזם" אומר שכל החבורות מסדר 2 איזמורפיות זו לזו. דוגמה נוספת לשימוש בביטוי זה: "יש שתי חבורות מסדר 6 עד כדי איזומורפיזם". הוכחנו שאכן יש רק 2, שהן הדיהדרלית והציקלית מסדר 6. אז למעשה הוכחנו שאם יש לנו חבורה מסדר 6, אז היא איזומורפית לאחת מהשתיים האלה. ובחזרה לשאלה: מה שקיבלנו כבר איזומורפי ל-$\mathbb Z_2$, אז בטח שהוא "יכול להיות איזומורפי ל...". --לואי (שיחה) 09:01, 3 בדצמבר 2013 (EST)