הבדלים בין גרסאות בדף "שיטות אינטגרציה"
(←ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית) |
(←ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית) |
||
שורה 60: | שורה 60: | ||
בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב <math>u=tan\left (\frac{x}{2}\right )</math>. | בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב <math>u=tan\left (\frac{x}{2}\right )</math>. | ||
− | נזכור כי <math>1+tan^2\alpha=\frac{1}{cos^2 \alpha</math> | + | נזכור כי <math>1+tan^2\alpha=\frac{1}{cos^2 \alpha}</math>, ונקבל <math>cos^2 \left ( \frac{x}{2} \right )=\frac{1}{1+tan^2\left ( \frac{x}{2} \right )}=\frac{1}{1+u^2}</math>. |
נקבל בנוסף <math>cos\ x=2\dcot cos^2\left ( \frac{x}{2} \right )-1=2\cdot\frac{1}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}</math>. | נקבל בנוסף <math>cos\ x=2\dcot cos^2\left ( \frac{x}{2} \right )-1=2\cdot\frac{1}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}</math>. |
גרסה מ־18:52, 29 במרץ 2013
בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש.
תוכן עניינים
אינטגרציה "רגילה"
הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמה,
.
השלמה לריבוע
כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שנייה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהיעזר ב-.
דוגמה
ניעזר בהשלמה לריבוע של המכנה. נקבל:
אינטגרציה בחלקים
לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים:
(ניתן לוודא על ידי גזירה).
דוגמה
נחפש את .
לפי השיטה, נסמן , .
לכן נקבל , .
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:
.
הרחבה
אינטגרציה בהצבה
לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:
(ניתן לוודא על ידי גזירה).
דוגמה
נחפש את כאשר .
נבצע הצבה: . מקבלים:
(נזכור כי , לכן אין צורך בערך מוחלט).
הרחבה
ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית
בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב .
נזכור כי , ונקבל .
נקבל בנוסף עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \dcot לא מוכרת): cos\ x=2\dcot cos^2\left ( \frac{x}{2} \right )-1=2\cdot\frac{1}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2} .
לכן
כמו כן, , ולכן .
דוגמה
ניעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב . נקבל: