גרסה אחרונה מ־15:44, 12 בפברואר 2017

תוכן עניינים

1 המבחן של פרופ' זלצמן
- 1.1 שאלה 1
- 1.2 שאלה 2
- 1.3 שאלה 4
- 1.4 שאלה 5
- 1.5 שאלה 7
2 המבחן של דר' שמחה הורוביץ
- 2.1 שאלה 3
- 2.2 שאלה 6

המבחן של פרופ' זלצמן

שאלה 1

הוכח/הפרך: הסדרה $a_n$ מתכנסת אם"ם לכל תת-סדרה $a_{n_k}$ יש-תת סדרה מתכנסת.

הפרכה

כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת מהווה דוגמא נגדית, מכיון שכל תת-סדרה חסומה גם היא ולפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש לה תת-סדרה מתכנסת. (למשל $a_n=(-1)^n$ )

שאלה 2

בדוק התכנסות של הטורים הבאים:

א

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{2^{n^3}}{(n!)^n}$

נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל מבחן קושי, לקבלת:

$b_n=\sqrt[n]{|a_n|}=\dfrac{2^{n^2}}{n!}$

קל לראות כי $\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\to\infty$ ולכן $b_n\to\infty$ . לכן $|a_n|\to\infty$ ולכן הטור מתבדר לחלוטין.

ב

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\sin\left(\frac1n\right)}{\log^2(n)}$

נבדוק התכנסות בהחלט. קל לראות כי

$\dfrac{\dfrac{\sin\left(\frac1n\right)}{\log^2(n)}}{\dfrac1{n\cdot\log^2(n)}}\to1$

ולכן הטורים חברים. נוכיח שהשני מתכנס בעזרת מבחן העיבוי (מותר כי זו סדרה מונוטונית יורדת ל-0):

$\dfrac{2^n}{2^n\cdot\log^2(2^n)}=\dfrac1{n^2\cdot\log^2(2)}$

זה קבוע כפול טור שידוע כמתכנס, לכן סה"כ הטור מתכנס בהחלט.

ג

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-\pi)^n\frac{(n!)^2}{(2n)!}$

נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל את מבחן דלאמבר לקבל

$\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{\pi^{n+1}\dfrac{\big((n+1)!\big)^2}{\big(2(n+1)\big)!}}{\pi^n\dfrac{(n!)^2}{(2n)!}}=\pi\cdot\dfrac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{\pi}{2}\cdot\dfrac{n+1}{2n+1}\to\dfrac{\pi}{4}<1$

ולכן הטור מתכנס בהחלט.

שאלה 4

זהה וסווג את נקודות אי-הרציפות.

א

$e^{-\frac1{x^3}}$

נקודת אי-הרציפות היא 0. הגבול משמאל הנו $\infty$ ולכן זה מין שני.

ב

$\frac{\sin(x^2)}{\big|\sin(x^2)\big|}$

כמו שלמדנו, הפונקציה הזו מקבלת 1 כאשר $\sin(x^2)$ חיובי, 1- כאשר הוא שלילי, ב-0 היא לא-מוגדרת ולכן זו נקודת אי-רציפות. לכן סה"כ נקודות אי-הרציפות הנן $\pm \sqrt{\pi k}$ כאשר $k\ge0$ . פרט ל-0, הן כולן מין ראשון מכיון שמצד אחד הסינוס שלילי, ומהצד השני חיובי (מימין לנקודת אי-הרציפות או משמאלה).

ב-0, אנחנו מתקרבים אליו רק מהצד החיובי שם הסינוס חיובי ולכן הוא נקודת אי-רציפות סליקה.

ג

$f'(x)$ כאשר $f(x)=|x^2-1|$

נחלק לתחומים. בתחום $x>1\ ,\ x<-1$ מתקיים $f(x)=x^2-1$ ולכן $f'(x)=2x$ .

בתחום $-1<x<1$ מתקיים $f(x)=1-x^2$ ולכן $f'(x)=-2x$ .

קל אפוא לראות שבנקודות $\pm1$ יש אי-רציפות ממין ראשון (שם הנגזרת מתקרבת ל-2 מצד אחד ו-2- מצד שני).

שאלה 5

אילו מהפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים המסומנים?

א

$x\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)$ בתחום $(0,\infty)$ .

קל לראות שהפונקציה רציפה בקטע, נבדוק גבולות בקצות הקטע:

$\lim_{x\to0}x\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)=0$ אפס כפול חסומה

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\sin\left(\frac1{x^2}\right)=\lim_{x\to\infty}\frac1x\cdot\frac{\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)}{\frac1{x^2}}=0\cdot1=0$

שני הגבולות סופיים ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.

ב

$\dfrac1{1+\ln(x)}$ בתחום $(0,\infty)$ .

קל לראות שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה $e^{-1}$ שנמצאת בתחום ולכן אינה רציפה במ"ש שם.

ג

$\sqrt{\big|\cos(\pi x)\big|}$ בתחום $(-\infty,\infty)$ .

זו הרכבה של פונקציה רציפות במ"ש: $\sqrt{x},|x|,\cos(x),\pi x$ ולכן רציפה במ"ש בתחום.

שאלה 7

חשב את הקירוב הלינארי של $h=g^{-1}\circ f^{-1}$ ב- $x_0=2$ .

הקירוב הלינארי של $h(x)$ באזור הנקודה $x_0$ , הנו $h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)$

במקרה שלנו

$h'(2)=(g^{-1}\circ f^{-1})'(2)=\Big[\dfrac{d}{dx}g^{-1}\Big(f^{-1}(2)\Big)\Big]\cdot\Big[\dfrac{d}{dx}f^{-1}(2)\Big]= \frac{1}{g'\Big(g^{-1}\big(f^{-1}(2)\big)\Big)}\cdot\dfrac1{f'\big(f^{-1}(2)\big)}$

ולכן סה"כ $h(x)=7-\frac{x-2}{7}$

המבחן של דר' שמחה הורוביץ

שאלה 3

תהי $g$ פונקציה רציפה במ"ש בקטע $(0,1)$ . נניח שקיים $\varepsilon>0$ כך שמתקיים $g(x)>\varepsilon$ לכל $x\in(0,1)$ . הוכח שהפונקציה $\dfrac1g$ רציפה במ"ש בקטע $(0,1)$ .

הוכחה

לפי הנתון, לכל $\alpha>0$ קיים $\delta>0$ כך שאם $|x_1-x_2|<\delta$ מתקיים $\Big|g(x_1)-g(x_2)\Big|<\alpha\cdot\varepsilon^2$ .

לכן, מתקיים $\left|\dfrac1{g(x_1)}-\dfrac1{g(x_2)}\right|=\left|\dfrac{g(x_2)-g(x_1)}{g(x_1)\cdot g(x_2)}\right|<\dfrac{\alpha\cdot\varepsilon^2}{\varepsilon^2}=\alpha$

כפי שרצינו. $\blacksquare$

שאלה 6

תהי $f$ פונקציה בעלת חמש נגזרת רציפות על הממשיים. נניח ש- $f(0)=f'(0)=\ldots=f^{(4)}(0)=0$ וגם $f^{(5)}(0)>0$ . עוד נניח שלכל $x\ne 0$ מתקיים $f'(x)\ne 0$ . הוכיחו שלכל $x>0$ מתקיים $f(x)>0$ .

הוכחה

מכיון שהפונקציה ו-4 נגזרותיה מתאפסות ב-0, פולינום טיילור מסדר 4 בסביבת הנקודה $x=0$ שווה זהותית ל-0. השארית היא מהצורה $\dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5$ כאשר $0<c<x$ .

מכיון ש- $f^{(5)}(0)>0$ והנגזרת החמישית רציפה, אז קיימת סביבה של 0 בה $f^{(5)}>0$ . לכן בסביבה ימנית של 0 מתקיים $f(x)=\dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5>0$ .

נותר להוכיח כי $f(x)>0$ עבור $x>0$ גם מחוץ לסביבה הימנית הזו. נניח בשלילה כי $f(x)\le0$ אזי לפי משפט ערך הביניים $f(x)=0$ עבור $x>0$ כלשהוא. אבל גם $f(0)=0$ ולכן לפי משפט רול הנגזרת מתאפסת עבור נקודה גדולה מ-0, בסתירה.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
+[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
 =המבחן של פרופ' זלצמן=
 ==שאלה 1==
-הוכח/הפרך: הסדרה a_n מתכנסת אם"ם לכל תת סדרה a_n_k יש תת סדרה מתכנסת
+הוכח/הפרך: הסדרה <math>a_n</math> מתכנסת אם"ם לכל תת-סדרה <math>a_{n_k}</math> יש-תת סדרה מתכנסת.
-===הפרכה===
+;הפרכה
-כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת מהווה דוגמא נגדית, מכיוון שכל תת סדרה חסומה גם היא ולפי משפט בולצאנו ויירשטראס יש לה תת סדרה מתכנסת. (למשל <math>a_n=(-1)^n</math>)
+כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת מהווה דוגמא נגדית, מכיון שכל תת-סדרה חסומה גם היא ולפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש לה תת-סדרה מתכנסת. (למשל <math>a_n=(-1)^n</math>)
 ==שאלה 2==
@@ שורה 10: / שורה 11: @@
 ===א===
-<math>\sum (-1)^n\frac{2^{n^3}}{(n!)^n}</math>
+<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{2^{n^3}}{(n!)^n}</math>
+נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל מבחן קושי, לקבלת:
+<math>b_n=\sqrt[n]{|a_n|}=\dfrac{2^{n^2}}{n!}</math>
+קל לראות כי <math>\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\to\infty</math> ולכן <math>b_n\to\infty</math> . לכן <math>|a_n|\to\infty</math> ולכן הטור '''מתבדר לחלוטין'''.
+===ב===
+<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\sin\left(\frac1n\right)}{\log^2(n)}</math>
+נבדוק התכנסות בהחלט. קל לראות כי
+<math>\dfrac{\dfrac{\sin\left(\frac1n\right)}{\log^2(n)}}{\dfrac1{n\cdot\log^2(n)}}\to1</math>
+ולכן הטורים חברים. נוכיח שהשני מתכנס בעזרת מבחן העיבוי (מותר כי זו סדרה מונוטונית יורדת ל-0):
+<math>\dfrac{2^n}{2^n\cdot\log^2(2^n)}=\dfrac1{n^2\cdot\log^2(2)}</math>
+זה קבוע כפול טור שידוע כמתכנס, לכן סה"כ הטור '''מתכנס בהחלט'''.
+===ג===
+<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-\pi)^n\frac{(n!)^2}{(2n)!}</math>
+נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל את מבחן דלאמבר לקבל
+<math>\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{\pi^{n+1}\dfrac{\big((n+1)!\big)^2}{\big(2(n+1)\big)!}}{\pi^n\dfrac{(n!)^2}{(2n)!}}=\pi\cdot\dfrac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{\pi}{2}\cdot\dfrac{n+1}{2n+1}\to\dfrac{\pi}{4}<1</math>
+ולכן הטור '''מתכנס בהחלט'''.
+==שאלה 4==
+זהה וסווג את נקודות אי-הרציפות.
+===א===
+<math>e^{-\frac1{x^3}}</math>
+נקודת אי-הרציפות היא 0. הגבול משמאל הנו <math>\infty</math> ולכן זה '''מין שני'''.
+===ב===
+<math>\frac{\sin(x^2)}{\big|\sin(x^2)\big|}</math>
+כמו שלמדנו, הפונקציה הזו מקבלת 1 כאשר <math>\sin(x^2)</math> חיובי, 1- כאשר הוא שלילי, ב-0 היא לא-מוגדרת ולכן זו נקודת אי-רציפות. לכן סה"כ נקודות אי-הרציפות הנן <math>\pm \sqrt{\pi k}</math> כאשר <math>k\ge0</math> . פרט ל-0, הן כולן '''מין ראשון''' מכיון שמצד אחד הסינוס שלילי, ומהצד השני חיובי (מימין לנקודת אי-הרציפות או משמאלה).
+ב-0, אנחנו מתקרבים אליו רק מהצד החיובי שם הסינוס חיובי ולכן הוא נקודת אי-רציפות '''סליקה'''.
+===ג===
+<math>f'(x)</math> כאשר <math>f(x)=|x^2-1|</math>
+נחלק לתחומים. בתחום <math>x>1\ ,\ x<-1</math> מתקיים <math>f(x)=x^2-1</math> ולכן <math>f'(x)=2x</math> .
+בתחום <math>-1<x<1</math> מתקיים <math>f(x)=1-x^2</math> ולכן <math>f'(x)=-2x</math> .
+קל אפוא לראות שבנקודות <math>\pm1</math> יש אי-רציפות מ'''מין ראשון''' (שם הנגזרת מתקרבת ל-2 מצד אחד ו-2- מצד שני).
+==שאלה 5==
+אילו מהפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים המסומנים?
+===א===
+<math>x\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)</math> בתחום <math>(0,\infty)</math> .
+קל לראות שהפונקציה רציפה בקטע, נבדוק גבולות בקצות הקטע:
+<math>\lim_{x\to0}x\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)=0</math> אפס כפול חסומה
+<math>\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\sin\left(\frac1{x^2}\right)=\lim_{x\to\infty}\frac1x\cdot\frac{\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)}{\frac1{x^2}}=0\cdot1=0</math>
+שני הגבולות סופיים ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''.
+===ב===
+<math>\dfrac1{1+\ln(x)}</math> בתחום <math>(0,\infty)</math> .
+קל לראות שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה <math>e^{-1}</math> שנמצאת בתחום ולכן '''אינה רציפה במ"ש''' שם.
+===ג===
+<math>\sqrt{\big|\cos(\pi x)\big|}</math> בתחום <math>(-\infty,\infty)</math> .
+זו הרכבה של פונקציה רציפות במ"ש: <math>\sqrt{x},|x|,\cos(x),\pi x</math> ולכן '''רציפה במ"ש''' בתחום.
+==שאלה 7==
+חשב את הקירוב הלינארי של <math>h=g^{-1}\circ f^{-1}</math> ב- <math>x_0=2</math> .
+הקירוב הלינארי של <math>h(x)</math> באזור הנקודה <math>x_0</math> , הנו <math>h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)</math>
+במקרה שלנו
+<math>h'(2)=(g^{-1}\circ f^{-1})'(2)=\Big[\dfrac{d}{dx}g^{-1}\Big(f^{-1}(2)\Big)\Big]\cdot\Big[\dfrac{d}{dx}f^{-1}(2)\Big]=
+\frac{1}{g'\Big(g^{-1}\big(f^{-1}(2)\big)\Big)}\cdot\dfrac1{f'\big(f^{-1}(2)\big)}</math>
+ולכן סה"כ <math>h(x)=7-\frac{x-2}{7}</math>
+=המבחן של דר' שמחה הורוביץ=
+==שאלה 3==
+תהי <math>g</math> פונקציה רציפה במ"ש בקטע <math>(0,1)</math> . נניח שקיים <math>\varepsilon>0</math> כך שמתקיים <math>g(x)>\varepsilon</math> לכל <math>x\in(0,1)</math> . הוכח שהפונקציה <math>\dfrac1g</math> רציפה במ"ש בקטע <math>(0,1)</math> .
+;הוכחה
+לפי הנתון, לכל <math>\alpha>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|x_1-x_2|<\delta</math> מתקיים <math>\Big|g(x_1)-g(x_2)\Big|<\alpha\cdot\varepsilon^2</math> .
+לכן, מתקיים <math>\left|\dfrac1{g(x_1)}-\dfrac1{g(x_2)}\right|=\left|\dfrac{g(x_2)-g(x_1)}{g(x_1)\cdot g(x_2)}\right|<\dfrac{\alpha\cdot\varepsilon^2}{\varepsilon^2}=\alpha</math>
+כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>
+==שאלה 6==
+תהי <math>f</math> פונקציה בעלת חמש נגזרת רציפות על הממשיים. נניח ש- <math>f(0)=f'(0)=\ldots=f^{(4)}(0)=0</math> וגם <math>f^{(5)}(0)>0</math> . עוד נניח שלכל <math>x\ne 0</math> מתקיים <math>f'(x)\ne 0</math> . הוכיחו שלכל <math>x>0</math> מתקיים <math>f(x)>0</math> .
+;הוכחה
+מכיון שהפונקציה ו-4 נגזרותיה מתאפסות ב-0, פולינום טיילור מסדר 4 בסביבת הנקודה <math>x=0</math> שווה זהותית ל-0. השארית היא מהצורה <math>\dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5</math> כאשר <math>0<c<x</math> .
+מכיון ש- <math>f^{(5)}(0)>0</math> והנגזרת החמישית רציפה, אז קיימת סביבה של 0 בה <math>f^{(5)}>0</math> . לכן בסביבה ימנית של 0 מתקיים <math>f(x)=\dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5>0</math> .
+נותר להוכיח כי <math>f(x)>0</math> עבור <math>x>0</math> גם מחוץ לסביבה הימנית הזו. נניח בשלילה כי <math>f(x)\le0</math> אזי לפי משפט ערך הביניים <math>f(x)=0</math> עבור <math>x>0</math> כלשהוא. אבל גם <math>f(0)=0</math> ולכן לפי משפט רול הנגזרת מתאפסת עבור נקודה גדולה מ-0, בסתירה.

הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד א'"

גרסה אחרונה מ־15:44, 12 בפברואר 2017

תוכן עניינים

המבחן של פרופ' זלצמן

שאלה 1

שאלה 2

א

ב

ג

שאלה 4

א

ב

ג

שאלה 5

א

ב

ג

שאלה 7

המבחן של דר' שמחה הורוביץ

שאלה 3

שאלה 6

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים