גרסה מ־19:56, 31 בינואר 2011

תוכן עניינים

הוכח/הפרך: הסדרה a_n מתכנסת אם"ם לכל תת סדרה a_n_k יש תת סדרה מתכנסת

כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת מהווה דוגמא נגדית, מכיוון שכל תת סדרה חסומה גם היא ולפי משפט בולצאנו ויירשטראס יש לה תת סדרה מתכנסת. (למשל $a_n=(-1)^n$ )

בדוק התכנסות של הטורים הבאים:

$\sum (-1)^n\frac{2^{n^3}}{(n!)^n}$

נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל מבחן קושי, לקבל:

$b_n=\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{2^{n^2}}{n!}$

קל לראות ש $b_{n+1}/b_n \rightarrow\infty$ ולכן $b_n\rightarrow\infty$ . ולכן $|a_n|\rightarrow\infty$ ולכן הטור מתבדר לחלוטין

$\sum (-1)^n\frac{sin(\frac{1}{n})}{(\log n)^2}$

@@ שורה 11: / שורה 11: @@
 ===א===
 <math>\sum (-1)^n\frac{2^{n^3}}{(n!)^n}</math>
+נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל מבחן קושי, לקבל:
+<math>b_n=\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{2^{n^2}}{n!}</math>
+קל לראות ש<math>b_{n+1}/b_n \rightarrow\infty</math> ולכן <math>b_n\rightarrow\infty</math>. ולכן <math>|a_n|\rightarrow\infty</math> ולכן הטור '''מתבדר לחלוטין'''
+===ב===
+<math>\sum (-1)^n\frac{sin(\frac{1}{n})}{(\log n)^2}</math>