גרסה מ־20:28, 31 בינואר 2011

תוכן עניינים

הוכח/הפרך: הסדרה a_n מתכנסת אם"ם לכל תת סדרה a_n_k יש תת סדרה מתכנסת

כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת מהווה דוגמא נגדית, מכיוון שכל תת סדרה חסומה גם היא ולפי משפט בולצאנו ויירשטראס יש לה תת סדרה מתכנסת. (למשל $a_n=(-1)^n$ )

בדוק התכנסות של הטורים הבאים:

$\sum (-1)^n\frac{2^{n^3}}{(n!)^n}$

נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל מבחן קושי, לקבל:

$b_n=\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{2^{n^2}}{n!}$

קל לראות ש $b_{n+1}/b_n \rightarrow\infty$ ולכן $b_n\rightarrow\infty$ . ולכן $|a_n|\rightarrow\infty$ ולכן הטור מתבדר לחלוטין

$\sum (-1)^n\frac{sin(\frac{1}{n})}{(\log n)^2}$

נבדוק התכנסות בהחלט. קל לראות ש

$\frac{\frac{sin(\frac{1}{n})}{(\log n)^2}}{\frac{1}{n(\log n)^2}}\rightarrow 1$

ולכן הטורים חברים. נוכיח שהשני מתכנס בעזרת מבחן העיבוי (מותר כי זו סדרה מונוטונית יורדת לאפס):

$\frac{2^n}{2^n(\log{2^n})^2}=\frac{1}{n^2(\log{2})^2}$

זה קבוע כפול טור שידוע כמתכנס, לכן סה"כ הטור מתכנס בהחלט.

$\sum (-1)^n\frac{\pi^n}{\frac{(2n)!}{(n!)^2}}$

נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל את מבחן דלאמבר לקבל $|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\pi\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}\rightarrow \frac{\pi}{4}<1$

ולכן הטור מתכנס בהחלט.

@@ שורה 30: / שורה 30: @@
 <math>\frac{2^n}{2^n(\log{2^n})^2}=\frac{1}{n^2(\log{2})^2}</math>
-זה קבוע כפול טור שידוע כמתכנס, לכן סה"כ הטור מתכנס בהחלט.
+זה קבוע כפול טור שידוע כמתכנס, לכן סה"כ הטור '''מתכנס בהחלט'''.
 ===ג===
@@ שורה 37: / שורה 37: @@
 נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל את מבחן דלאמבר לקבל <math>|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\pi\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}\rightarrow \frac{\pi}{4}<1</math>
-ולכן הטור מתכנס בהחלט.
+ולכן הטור '''מתכנס בהחלט'''.