88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 1 (4/3/12)

חזרה להרצאות

הרצאה 1 (4/3/12)

קרדיט לנמרוד שרר, שבזכותו התחילה כל המגמה הזו, והעלה את ההרצאה הראשונה

חקירת פונקציות:

נתונה פונקציה $f(x)$ . אוספים מידע על $f$ , ובסוף משרטטים את הגרף.

תכנית (אפשרית):

1) תחום הגדרה של $f(x)$ ונק' מיוחדות (אי-רציפות/גזירות), זוגית/אי-זוגית.

2) מה קורה ל- $f(x)$ כאשר $x \to \pm \infty$ . (בפרט אם קיים $\lim_{x \to \pm \infty }f(x)=a$ , $y=a$ אסימפטוטה אופקית) אם קיימים $a,b$ קבועים כך ש- $\lim_{x \to \pm \infty }[f(x)-(ax+b)]=0$ אז $y=ax+b$ אסימפטוטה משופעת.

3) אם עבור $a \in \real$ : $\lim_{x \to a^\pm }f(x)=\infty \, \, or\, (-\infty)$ אז הישר $x=a$ אסימפטוטה אנכית.

4) מחשבם את $f'(x)$ ואיתה תחומי עליה/ירידה של $f$ ונ' קריטיות.

5) מחשבים $f''(x)$ ואיתה תחומי קעירות/קמירות ונק' פיתול של $f$ .

6) טבלת ערכים הכוללת נק' חשובות:

$f(x)$	$x$
.	.
.	.
.	.

7) מסרטטים את הגרף.

אינטגרלים:

הגדרה: תהי $f(x)$ פונקציה המוגדרת בקטע כלשהו $I$ . אומרים שהפונקציה $F(x)$ קדומה ל- $f(x)$ ב- $I$ אם $F'(x)=f(x)$ לכל $x \in I$ .

משפט 1: תהי $f(x)$ מוגדרת בקטע I. נניח ש- $G(x)$ וגם $H(x)$ קדומות ל $f$ ב- $I$ כך שלכל $x \in I$ : $G(x)-H(x)=C$ .

הוכחה: נגדיר $F(x)=G(x)-H(x)$ , לפי הנתון $F'(x)=f(x)-f(x)=0$ עפ"י אחת התוצאות של משפט לגרנג' $F(x)$ קבועה, ולכן קיימת $C \in \real$ עבורה $C=F(x)=G(x)-H(x)$ .

סימון מקובל: אם $F(x)$ קדומה ל- $f(x)$ כותבים: $\int f(x)=F(x)+C$ .

$A(x)=\int f(t) dt$ עבור כל $x \in [a,b]$ טענה נועזת: $A(x)$ גזירה ו- $A'(x)=f(x)$ . הוכחה: $A'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}=f(x)$ כעת, השטח שמתחת לגרף הוא $A(b)$ (נעיר ש- $A(a)=0$ ) כעת, תהי $F(x)$ פונקציה קדומה ל- $f(x)$ בקטע $[a,b]$ . כיוון שכבר הוכחנו ש- $A(x)$ קדומה ל- $f(x)$ , משפט 1 אומר ש- $F(x)=A(x)+C$ . מכאן ש- $=\int^b_a f(x) dx$ השטח $F(b)-F(a)=A(b)+C-[A(a)-C]=A(b)=$ .

אינטגרל לא מסויים: אינטגרל בלי גבולות - $\int f(x)dx$ והתוצאה היא לפי פונקציה הקדומה: $F(x)+C$ .

טבלה של אינטגרלים בסיסיים:

$F(x)$	$f(x)$
$\frac {(x+a)^{n+1}}{n+1}$	$(x+a)^n \, \, (n \neq -1)$
$ln(x+a)$	$(x+a)^{-1}$
$\sin (x+a)$	$\cos (x+a)$
$-\cos (x+a)$	$\sin (x+a)$
$e^{x+a}$	$e^{x+a}$
$\frac{a^x}{\ln a}$	$a^x$
$\arcsin x$	$\frac {1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$	$\frac {1}{1+x^2}$
$\arcsin \frac{x}{a}$	$\frac {1}{\sqrt{a^2-x^2}}$
$\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}$	$\frac {1}{a^2+x^2}$