88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות 3+4 (11+13/3/12)

חזרה להרצאות

הרצאות 3+4 (11+13/3/12)

נוסחה שהופיעה בשיעור:

את האינטגרל מהסוג $I_n=\int \frac {dx}{(x^2+a^2)^n}$ עבור $a>0,n \in \mathbb{N}$ מחשבים בעזרת נוסחת הנסיגה הבאה:

$I_{n+1}=\frac 1 {2na^2} \cdot \frac x {(x^2+a^2)^2}+\frac {2n-1}{2na^2}I_n$ כך ש- $I_1=\frac 1 a \arctan(\frac x a )+C$

אינטגרציה של פונקציה רציונלית:

$\int \frac{p(x)}{q(x)}dx$ , $q,p$ פולינומים.

יש רק שני סוגים של שברים חלקיים:

(א) $\frac {A}{(x-x_0)^n}$ עבור $A,x_0 \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}$

(ב) $\frac {Ax+B}{(ax^2+bx+c)^n}$ עבור $A,B,a,b,c \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}$ ולמכנה שאין לו שורשים ממשיים: $b^2-4ac<0$

השיטה שלנו מתבססת על שני משפטים מאלגברה.

משפט 1: יהי $p(x)$ פולינום ממשי. אז ניתן לפרק את $p$ לקבוע כפול מספר איברים לינאריים $x-x_0$ , ומספר איברים ריבועיים מהסוג $x^2+bx+c$ כך ש- $b^2-4c<0$ וזהו הפירוק המושלם של $p(x)$ .

משפט 2: תהי $\frac{p(x)}{q(x)}$ פונקציה רציונלית כך ש- $\deg p<\deg q$ . אז אפשר לפרק את $\frac p q$ לסכום של שברים חלקיים.

בפועל:

כדי לפרק את $\frac {p(x)}{q(x)}$ לסכום שברים חלקיים: תחילה מפרקים את $q(x)$ בצורה מושלמת עפ"י משפט 1, אז משווים את $\frac {p(x)}{q(x)}$ לסכום של שברים חלקיים כללי ביותר שעשוי להביא לידי המכנה $q(x)$ (זאת אומרת, המכנה הנשותף שלהם= $q(x)$ ).

רושמים את השברים החלקיים עם מקדמים בלתי ידועים ואז קובעים את המקדמים האלה. לבסוף מחשבים $\int \frac{p(x)}{q(x)}dx$ ע"י סכום אינטגרלים של השברים החלקיים שהם אינטגרלים קלים.

למידע נוסף ניתן לקבל בקישור הבא.

אינטגרציה של פונקציות רציונליות של $\sin x,\cos x$ :

קיימת "הצבה אוניברסלית" שניתן בעזרתה להביא אינטגרל כזה לאינטגרל של פו' רציונלית רגילה שפתירה ע"י שברים חלקיים.

ההצבה היא: $t=\tan \frac x 2$

לכן $x=2\arctan(t)$ , לכן יוצא לפי גזירה ש- $dx=\frac 2 {1+t^2}dt$ . נשתמש בזהות חשובה: $1+t^2=1+\tan ^2 \frac x 2=\frac 1 {\cos ^2 \frac x 2}$ לכן: $\frac 1 {1+t^2}=\cos ^2 \frac x 2=\frac {1+\cos x} 2$ (לפי זהות לזוית כפולה)

לאחר העברת אגפים יוצא ש- $cos x = \frac {1-t^2}{1+t^2}$ .

$\sin \frac x 2 = \cos \frac x 2 \cdot \tan \frac x 2=\sqrt \frac 1 {1+t^2} \cdot t$

נשתמש כעת בזהות לזוית כפולה של $\sin$ ונציב את הערכים שמצאנו כבר- $\sin x = 2\sin \frac x 2 \cos \frac x 2 = 2\cdot \sqrt \frac 1 {1+t^2} \cdot t \cdot \sqrt \frac 1 {1+t^2}$