88-133 אינפי 2 תשעג סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 6

1

חשב אילו מן האינטגרלים הבאים מתכנס

א

$\int_1^\infty e^{-\ln^2(x)}dx$

ב

$\int_0^\infty x^2\sin(x^4)dx$

ג

$\int_1^\infty\frac{\cos(x)}{x}$

ד

$\int_1^\infty\frac{|\cos(x)|}{x}$

ה

$\int_1^\infty\frac{\cos^2(x)}{x}$

ו

$\int_1^\infty\frac{x-\arctan(x)}{x(1+x^2)\arctan(x)}dx$

2

חשב לאילו ערכים של הפרמטר האינטגרל הבא מתכנס

$\int_1^\infty\frac{\sin^2(x)}{x^\alpha}dx$

3

תהי f פונקציה יורדת כך ש $\int_0^\infty f(x)dx$ מתכנס

א

הוכח כי $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=0$

ב

הראה כי הטענה לא נכונה אם לא מניחים כי $f$ יורדת.

4

א

נתונה f חיובית ורציפה, ונתון כי $\int_0^\infty f(x)dx=\infty$. הוכח כי $\int_1^\infty\frac{f(x)}{\int_0^x f(t)dt}dx=\infty$

ב

הראה כי הטענה לא נכונה ללא ההנחה ש $\int_0^\infty f(x)dx=\infty$.

5

א

הראה כי הפונקציה $\frac{1}{1+[x]^2}$ אינטגרבילית מקומית ב $[1,\infty)$

ב

האם האינטגרל $\int_1^\infty \frac{1}{1+[x]^2} \mathrm{d}x$

מתכנס?