===משפט===
<math>d^rf_a(h)=\sum_{|\alpha| =r} \frac{r!}{\alpha!}D^{\alpha}f(a)\cdot h^\alpha</math>
(הרצאה 12)
כך ש-
<math>\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)</math> מולטי אינדקס
<math>|\alpha|=\sum_{i=1}^n |\alpha_i|</math>
<math>\alpha! = \alpha_1!\cdot ... \cdot \alpha_n!</math>
<math>h^\alpha = h_1^{\alpha_1}\cdot ... \cdot h_n^{\alpha_n}</math>
<math>D^\alpha f = \frac{\partial^{|\alpha|} f} {\partial x_1^{\alpha_1} ... \partial x_n^{\alpha_n} }</math>
===הוכחה===
[[מדיה:ProofTheorem3AdvancedCalc2014.docx | להורדת ההוכחה]]
==תנאי מספיק לדיפרנציאביליות לפי רציפות נגזרות חלקיות==
אזי f דיפ' ב-a. (הרצאה 9)
==תנאי מספיק לקיצון מקומי עפ"י הדיפרנציאל השני==
===המשפט===
תהי <math>f:U\to \mathbb{R}</math> כך ש-U קבוצה פתוחה שמוכלת ב- <math>\mathbb{R}^n</math> ו- <math>f\in C^2(U)</math>.
תהי <math>a \in U</math> נק' קריטית של f (כלומר <math>\nabla f(a)=0</math>) אזי:
1. אם <math>d^2f_a>0</math> אז a מינימום מקומית ממש
2. אם <math>d^2f_a<0</math> אז a מקסימום מקומית ממש
3. אם <math>d^2f_a</math> לא שומרת סימן אז a לא קיצון.
(הרצאה 15)
==משפט פונקציה סתומה - משוואה אחת==
===משפט===
תהי <math>W \subseteq \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}</math> קבוצה פתוחה ותהי <math>F:W\to \mathbb R</math> כך ש- <math>F \in C^r (W)</math>
נתונה הנקודה <math>(a,b)</math> כך ש-
1. <math>F(a,b)=0</math>
2. <math>\frac{\partial f}{\partial y} (a,b)\neq 0</math> (כאשר y זה המשתנה ה- n+1)
אזי קיימות סביבות <math>a \in U , b \in V</math> כך ש- <math>\forall_{x \in U} \exists!_{y \in V} : F(x,y)=0</math>.
כלומר קיימת פונקציה <math>\varphi:U\to V</math> כך ש- <math>F(x,\varphi(x))=0</math>. בנוסף <math>\varphi \in C^r(U)</math>
(הרצאה 16)
==משפט פונקציה סתומה - מקרה כללי==
===משפט===
==תנאי הכרחי לקיצון עם אילוצים==
===משפט===
==קריטריון רימן לאינטגרביליות==
===משפט===
תהי <math>f:P\to \mathbb{R}</math> כך ש- <math>\exists C \forall x \in P: ||f(x)||\leq C</math>, אזי <math>f \in \mathcal{R}(P)</math> (אינטגרבילית לפי רימן) אם ורק אם
<math>\forall \epsilon>0 \exists \mathcal{P} : 0\leq \bar{S}(f,\mathcal{P})-\underline{S}(f,\mathcal{P}) < \epsilon</math>
כלומר לכל אפסילון קיימת חלוקה כך שההפרש בין הסכומים העליוניים לתחתוניים קטן מאפסילון.
(הרצאה 21)
===הוכחה===
עבור n'''משמאל לימין:''' יהי <math>\epsilon>0</math> אזי קיימת חלוקה <math>\mathcal{P}</math> כך ש- <math> 0\leq \bar{S}(f,\mathcal{P})-\underline{S}(f,\mathcal{P})< \epsilon</math>. כלומר <math> 0\leq \bar{S}(f,\mathcal{P})<\underline{S}(f,\mathcal{P})+ \epsilon</math> ומכאן ש- <math>\bar{I}(f)=2\operatorname{inf}_{\mathcal Q} \bar{S}(f, \mathcal Q) < \underline{S}(f,\mathcal{P})+ \epsilon</math> אז <math>\bar{I}(f)-\epsilon<\underline{S}(f,\mathcal{P})\leq \operatorname{sup}_{\mathcal Q} \underline{S}(f,\mathcal{Q}) = \underline{I}(f)</math> ולכן <math>\overline{I}(f)-\underline{I}(f)<\epsilon</math> לכל אפסילון גדול מ-0. לכן <math>\overline{I}(f)-\underline{I}(f)=0</math> ואז <math>\overline{I}(f)=\underline{I}(f)</math>. אז <math>f \in \mathcal{R} (P)</math> '''מימין לשמאל:''' נניח <math>f \in \mathcal{R} (P)</math> אז <math>\overline{I}(f)=\operatorname{inf}_{\mathcal Q} \bar{S}(f, \mathcal Q)=\operatorname{sup}_{\mathcal Q} \underline{S}(f,\mathcal{Q}) =\underline{I}(f)=I(f)</math> יהי אפסילון גדול מ-0 אז <math>\exists \mathcal Q : I(f)-\frac\epsilon2 < \underline{S}(f,\mathcal{Q})\leq I(f)</math> <math>\exists \mathcal P : I(f)+\frac\epsilon2 > \bar S(f,\mathcal{P})\geq I(f)</math> לכן קיימות חלוקות <math>\mathcal {P , Q}</math> כך ש- <math>I(f)-\frac\epsilon2 < \underline{S}(f,\mathcal{Q}) \leq \bar S(f,\mathcal{P}) < I(f)+\frac\epsilon2 </math> נגדיר <math>\mathcal T := \mathcal P \cap \mathcal Q</math> (לא מצאתי דרך לבטא את החיתוך עם העיגול מעל. זה הכוונה פה) <math>I(f)-\frac\epsilon2 < \underline{S}(f,\mathcal{Q})\leq\underline{S}(f,\mathcal{T})\leq \bar S(f,\mathcal{T})\leq \bar S(f,\mathcal{P}) < I(f)+\frac\epsilon2</math> <math>\bar S(f,\mathcal{T}) -\underline{S}(f,\mathcal{T}) < I(f)+\frac\epsilon2-(I(f)-\frac\epsilon2)=\epsilon </math> משל