נשים לב ש- <math>x''_{k_i}=x'_{k_i}+(x''_{k_i}-x'_{k_i}) \to x_0 + 0 = x_0</math>. מתוך הנתון ש- f רציפה ב- <math>x_0</math> נקבל ש- <math>f(x'_{k_i}) \to f(x_0) , f(x''_{k_i}) \to f(x_0) </math> אך אם כך, <math> \lim_{i\to\infty} (f(x'_{k_i})-f(x''_{k_i}))=f(x_0)-f(x_0)=0</math> בסתירה לכך שקיים אפסילון כך ש- <math>|||f(x')-f(x'')|||\geq \epsilon</math>. משל
==היחס בין הדיפרנציאל לנגזרות החלקיות==
הערה: יש 2 משפטים שאני לא בטוח לאיזה אחד מהם הוא מתכוון, וצריך לשאול אותו. (שניהם בהרצאה 7)
===משפט 1===
תהי <math>f:\Omega\to\mathbb{R}^m</math> כך ש- <math>\Omega \subseteq \mathbb{R}^n</math> ותהי <math>a \in \operatorname{int} \Omega</math> כך ש- f דיפ' ב-a. אזי לכל <math>1\leq j \leq n</math> קיימת נגזרת חלקית <math>\frac{\partial f}{\partial x_j} (a) </math> והיא שווה ל- <math>df_a (e_j)</math>
===משפט 2===
תהי <math>f:\Omega\to\mathbb{R}^m</math> כך ש- <math>\Omega \subseteq \mathbb{R}^n</math> ותהי <math>a \in \operatorname{int} \Omega</math> כך ש- f דיפ' ב-a, אזי מתקיים:
<math>\forall h \in \mathbb{R}^n :df_a(h)= \sum_{j=1}^n (\frac{\partial f}{\partial x_j} (a) \cdot h_j)</math>