===משפט 1===
תהי <math>f:\Omega\to\mathbb{R}^m</math> כך ש- <math>\Omega \subseteq \mathbb{R}^n</math> ותהי <math>a \in \operatorname{int} \Omega</math> כך ש- f דיפ' ב-a. אזי לכל <math>1\leq j \leq n</math> קיימת נגזרת חלקית <math>\frac{\partial f}{\partial x_j} (a) </math> והיא שווה ל- <math>df_a (e_j)</math>
===הוכחה 1===
<math>f(a+h)=f(a)+df_a(h)+\epsilon(h)||h||</math> כך ש- <math>\lim_{h\to 0}\epsilon(h)=0</math>.
לכן,
<math>f(a+t\cdot e_j)-f(a)=df_a(t\cdot e_j)+\epsilon (t\cdot e_j)\cdot |t|\cdot ||e_j||</math>
כיוון ש- <math>||e_j||=1</math> והדיפרנציאל הוא אופרטור לינארי, מקבלים ש-
<math>\frac{f(a+t\cdot e_j)-f(a)}{t}=df_a(e_j)+\frac{|t|}{t}\epsilon(t\cdot e_j)</math>
נשים לב שהגורם האחרון שואף ל-0 כש- t שואף ל-0, ולכן נקבל:
<math>\lim_{t\to 0} \frac{f(a+t\cdot e_j)-f(a)}{t} = df_a(e_j)</math> אך אגף שמאל, עפ"י הגדרה, זה <math>\frac{\partial f}{\partial x_j} (a)</math> וקיבלנו את מה שרצינו.
===משפט 2===