הבדלים בין גרסאות בדף "88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד הוכחות למשפטים למבחן"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏המשפט)
שורה 15: שורה 15:
  
 
נשים לב ש- <math>x''_{k_i}=x'_{k_i}+(x''_{k_i}-x'_{k_i}) \to x_0 + 0 = x_0</math>. מתוך הנתון ש- f רציפה ב- <math>x_0</math> נקבל ש- <math>f(x'_{k_i}) \to f(x_0) , f(x''_{k_i}) \to f(x_0) </math> אך אם כך, <math> \lim_{i\to\infty} (f(x'_{k_i})-f(x''_{k_i}))=f(x_0)-f(x_0)=0</math> בסתירה לכך שקיים אפסילון כך ש- <math>|||f(x')-f(x'')|||\geq \epsilon</math>. משל
 
נשים לב ש- <math>x''_{k_i}=x'_{k_i}+(x''_{k_i}-x'_{k_i}) \to x_0 + 0 = x_0</math>. מתוך הנתון ש- f רציפה ב- <math>x_0</math> נקבל ש- <math>f(x'_{k_i}) \to f(x_0) , f(x''_{k_i}) \to f(x_0) </math> אך אם כך, <math> \lim_{i\to\infty} (f(x'_{k_i})-f(x''_{k_i}))=f(x_0)-f(x_0)=0</math> בסתירה לכך שקיים אפסילון כך ש- <math>|||f(x')-f(x'')|||\geq \epsilon</math>. משל
 +
 +
==היחס בין הדיפרנציאל לנגזרות החלקיות==
 +
הערה: יש 2 משפטים שאני לא בטוח לאיזה אחד מהם הוא מתכוון, וצריך לשאול אותו. (שניהם בהרצאה 7)
 +
 +
===משפט 1===
 +
תהי <math>f:\Omega\to\mathbb{R}^m</math> כך ש- <math>\Omega \subseteq \mathbb{R}^n</math> ותהי <math>a \in \operatorname{int} \Omega</math> כך ש- f דיפ' ב-a. אזי לכל <math>1\leq j \leq n</math> קיימת נגזרת חלקית <math>\frac{\partial f}{\partial x_j} (a) </math> והיא שווה ל- <math>df_a (e_j)</math>
 +
 +
===משפט 2===
 +
תהי <math>f:\Omega\to\mathbb{R}^m</math> כך ש- <math>\Omega \subseteq \mathbb{R}^n</math> ותהי <math>a \in \operatorname{int} \Omega</math> כך ש- f דיפ' ב-a, אזי מתקיים:
 +
 +
<math>\forall h \in \mathbb{R}^n :df_a(h)= \sum_{j=1}^n (\frac{\partial f}{\partial x_j} (a) \cdot h_j)</math>

גרסה מ־19:14, 29 בינואר 2014

משפט קנטור על רציפות במ"ש

המשפט

תהי f:K \to \mathbb{R}^m כך ש- K \subseteq \mathbb{R}^n קבוצה קומפקטית ו-f רציפה ב- K, אזי f רציפה במ"ש ב-K. (הרצאה 6)

הוכחה

נניח בשלילה ש-f לא רבמ"ש ב-K. אז מתקיים ש-

\exists \epsilon>0 \forall \delta>0 \exists x',x'' : ||x'-x''||<\delta \land |||f(x')-f(x'')|||\geq \epsilon.

זה מתקיים לכל דלתא, אז נגדיר סדרה של דלתות באופן הבא: \delta_k=\frac1k, ולכל \delta_k נסמן את x',x'' בהתאם: x'_k,x''_k.

לכן לכל k מתקיים: ||x'_k-x''_k||<\frac1k, |||f(x'_k)-f(x''_k)|||\geq\epsilon>0

כיוון שכל הנקודות x'_k ב-K, שהיא קבוצה קומפקטית, מתקיימת למת בולצאנו ווירשטראס. כלומר קיימת תת סדרה \left\{ x_{k_i} \right\}_{i=1}^\infty \to x_0 שמתכנסת לנקודה x_0 שגם היא ב-K (כיוון ש-K סגורה).

נשים לב ש- x''_{k_i}=x'_{k_i}+(x''_{k_i}-x'_{k_i}) \to x_0 + 0 = x_0. מתוך הנתון ש- f רציפה ב- x_0 נקבל ש- f(x'_{k_i}) \to f(x_0) , f(x''_{k_i}) \to f(x_0) אך אם כך, \lim_{i\to\infty} (f(x'_{k_i})-f(x''_{k_i}))=f(x_0)-f(x_0)=0 בסתירה לכך שקיים אפסילון כך ש- |||f(x')-f(x'')|||\geq \epsilon. משל

היחס בין הדיפרנציאל לנגזרות החלקיות

הערה: יש 2 משפטים שאני לא בטוח לאיזה אחד מהם הוא מתכוון, וצריך לשאול אותו. (שניהם בהרצאה 7)

משפט 1

תהי f:\Omega\to\mathbb{R}^m כך ש- \Omega \subseteq \mathbb{R}^n ותהי a \in \operatorname{int} \Omega כך ש- f דיפ' ב-a. אזי לכל 1\leq j \leq n קיימת נגזרת חלקית \frac{\partial f}{\partial x_j} (a) והיא שווה ל- df_a (e_j)

משפט 2

תהי f:\Omega\to\mathbb{R}^m כך ש- \Omega \subseteq \mathbb{R}^n ותהי a \in \operatorname{int} \Omega כך ש- f דיפ' ב-a, אזי מתקיים:

\forall h \in \mathbb{R}^n :df_a(h)= \sum_{j=1}^n (\frac{\partial f}{\partial x_j} (a) \cdot h_j)

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-230_אינפי_3_סמסטר_א_תשעד_הוכחות_למשפטים_למבחן&oldid=39994