הבדלים בין גרסאות בדף "88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד הוכחות למשפטים למבחן"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏המשפט)
(←‏היחס בין הדיפרנציאל לנגזרות החלקיות)
שורה 17: שורה 17:
  
 
==היחס בין הדיפרנציאל לנגזרות החלקיות==
 
==היחס בין הדיפרנציאל לנגזרות החלקיות==
−
הערה: יש 2 משפטים שאני לא בטוח לאיזה אחד מהם הוא מתכוון, וצריך לשאול אותו. (שניהם בהרצאה 7)
+
צריך לדעת את 3 הדברים שבחלק זה (המשפטים בהרצאה 7 והדוגמה לקוחה מהתרגול)
  
 
===משפט 1===
 
===משפט 1===

גרסה מ־10:18, 30 בינואר 2014

משפט קנטור על רציפות במ"ש

המשפט

תהי f:K \to \mathbb{R}^m כך ש- K \subseteq \mathbb{R}^n קבוצה קומפקטית ו-f רציפה ב- K, אזי f רציפה במ"ש ב-K. (הרצאה 6)

הוכחה

נניח בשלילה ש-f לא רבמ"ש ב-K. אז מתקיים ש-

\exists \epsilon>0 \forall \delta>0 \exists x',x'' : ||x'-x''||<\delta \land |||f(x')-f(x'')|||\geq \epsilon.

זה מתקיים לכל דלתא, אז נגדיר סדרה של דלתות באופן הבא: \delta_k=\frac1k, ולכל \delta_k נסמן את x',x'' בהתאם: x'_k,x''_k.

לכן לכל k מתקיים: ||x'_k-x''_k||<\frac1k, |||f(x'_k)-f(x''_k)|||\geq\epsilon>0

כיוון שכל הנקודות x'_k ב-K, שהיא קבוצה קומפקטית, מתקיימת למת בולצאנו ווירשטראס. כלומר קיימת תת סדרה \left\{ x_{k_i} \right\}_{i=1}^\infty \to x_0 שמתכנסת לנקודה x_0 שגם היא ב-K (כיוון ש-K סגורה).

נשים לב ש- x''_{k_i}=x'_{k_i}+(x''_{k_i}-x'_{k_i}) \to x_0 + 0 = x_0. מתוך הנתון ש- f רציפה ב- x_0 נקבל ש- f(x'_{k_i}) \to f(x_0) , f(x''_{k_i}) \to f(x_0) אך אם כך, \lim_{i\to\infty} (f(x'_{k_i})-f(x''_{k_i}))=f(x_0)-f(x_0)=0 בסתירה לכך שקיים אפסילון כך ש- |||f(x')-f(x'')|||\geq \epsilon. משל

היחס בין הדיפרנציאל לנגזרות החלקיות

צריך לדעת את 3 הדברים שבחלק זה (המשפטים בהרצאה 7 והדוגמה לקוחה מהתרגול)

משפט 1

תהי f:\Omega\to\mathbb{R}^m כך ש- \Omega \subseteq \mathbb{R}^n ותהי a \in \operatorname{int} \Omega כך ש- f דיפ' ב-a. אזי לכל 1\leq j \leq n קיימת נגזרת חלקית \frac{\partial f}{\partial x_j} (a) והיא שווה ל- df_a (e_j)

(הערה: משפט זה הוא מקרה פרטי למשפט שהוכחנו בהמשך באופן דומה. המשפט אומר ש- \partial_h f (a)=df_a (h) כך ש- \partial_h f(a) := \lim_{t\to 0} \frac{f(a+th)-f(a)}{t} זוהי הנגזרת הכיוונית לפי וקטור h.)

הוכחה 1

f(a+h)=f(a)+df_a(h)+\epsilon(h)||h|| כך ש- \lim_{h\to 0}\epsilon(h)=0.

לכן,

f(a+t\cdot e_j)-f(a)=df_a(t\cdot e_j)+\epsilon (t\cdot e_j)\cdot |t|\cdot ||e_j||

כיוון ש- ||e_j||=1 והדיפרנציאל הוא אופרטור לינארי, מקבלים ש-

\frac{f(a+t\cdot e_j)-f(a)}{t}=df_a(e_j)+\frac{|t|}{t}\epsilon(t\cdot e_j)

נשים לב שהגורם האחרון שואף ל-0 כש- t שואף ל-0, ולכן נקבל:

\lim_{t\to 0} \frac{f(a+t\cdot e_j)-f(a)}{t} = df_a(e_j) אך אגף שמאל, עפ"י הגדרה, זה \frac{\partial f}{\partial x_j} (a) וקיבלנו את מה שרצינו.

משפט 2

תהי f:\Omega\to\mathbb{R}^m כך ש- \Omega \subseteq \mathbb{R}^n ותהי a \in \operatorname{int} \Omega כך ש- f דיפ' ב-a, אזי מתקיים:

\forall h \in \mathbb{R}^n :df_a(h)= \sum_{j=1}^n (\frac{\partial f}{\partial x_j} (a) \cdot h_j)

הוכחה 2

יהי h\in \mathbb{R}^n אז h=(h_1,h_2,...,h_n)=h_1\vec{e_1}+...+h_n\vec{e_n}=\sum_{j=1}^n h_j\vec{e_j}. מתוך העובדה שהדיפרנציאל הוא אופרטור לינארי וממשפט 1,

df_a(h)=h_1 df_a(e_1)+...+h_n df_a(e_n)=h_1\frac{\partial f}{\partial x_1}(a)+...+h_n\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)=\sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j}(a)\cdot h_j

דוגמה בה כל הנגזרות החלקיות קיימות אבל הפונקציה לא דיפרנציאבילית

f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}\ \text{if}\ (x,y)\neq(0,0) \\ 0\ \text{if}\ x=y=0 \end{cases}

הפונקציה אפילו לא רציפה ב-0! (ניקח מסלולים y=kx ונקבל גבולות שונים)

אך הנגזרות החלקיות קיימות:

\frac{\partial f}{\partial x} (0,0) = \lim_{t\to 0} \frac{f(0+t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0} 0 = 0

ובאופן דומה לנגזרת החלקית לפי y

תנאי מספיק לדיפרנציאביליות לפי רציפות נגזרות חלקיות

המשפט

תהי f:\Omega \to \mathbb{R}^m ותהי נקודה a\in \operatorname{int} \Omega

נניח ש-

1. עבור דלתא מספר קטן קיימות \forall_{1\leq i \leq n}\forall x \in B(a,\delta):\frac{\partial f}{\partial x_i} (x)

2. כל הנגזרות החלקיות רציפות בכדור הזה.

אזי f דיפ' ב-a. (הרצאה 9)

הוכחה

עבור n=2:

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-230_אינפי_3_סמסטר_א_תשעד_הוכחות_למשפטים_למבחן&oldid=40007