88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד הוכחות למשפטים למבחן

משפט קנטור על רציפות במ"ש

המשפט

תהי $f:K \to \mathbb{R}^m$ כך ש- $K \subseteq \mathbb{R}^n$ קבוצה קומפקטית ו-$f$ רציפה ב- $K$, אזי f רציפה במ"ש ב-K.

הוכחה

נניח בשלילה ש-f לא רבמ"ש ב-K. אז מתקיים ש-

$\exists \epsilon>0 \forall \delta>0 \exists x',x'' : ||x'-x''||<\delta \land |||f(x')-f(x'')|||\geq \epsilon$.

זה מתקיים לכל דלתא, אז נגדיר סדרה של דלתות באופן הבא: $\delta_k=\frac1k$, ולכל $\delta_k$ נסמן את $x',x''$ בהתאם: $x'_k,x''_k$.

לכן לכל k מתקיים: $||x'_k-x''_k||<\frac1k, |||f(x'_k)-f(x''_k)|||\geq\epsilon>0$

כיוון שכל הנקודות $x'_k$ ב-K, שהיא קבוצה קומפקטית, מתקיימת למת בולצאנו ווירשטראס. כלומר קיימת תת סדרה $\left\{ x_{k_i} \right\}_{i=1}^\infty \to x_0$ שמתכנסת לנקודה $x_0$ שגם היא ב-K (כיוון ש-K סגורה).

נשים לב ש- $x''_{k_i}=x'_{k_i}+(x''_{k_i}-x'_{k_i}) \to x_0 + 0 = x_0$. מתוך הנתון ש- f רציפה ב- $x_0$ נקבל ש- $f(x'_{k_i}) \to f(x_0) , f(x''_{k_i}) \to f(x_0)$ אך אם כך, $\lim_{i\to\infty} (f(x'_{k_i})-f(x''_{k_i}))=f(x_0)-f(x_0)=0$ בסתירה לכך שקיים אפסילון כך ש- $|||f(x')-f(x'')|||\geq \epsilon$. משל