88-236 אינפי 4 תשעב סמסטר ב/המחשות

המחשות מתרגול 1:

בתרגול הראשון הגדרנו בקצרה ושרטטנו שדות סקלריים ווקטוריים. הנה ציורים יותר יפים שלהם (הוקטורים לא באורך המדויק, אבל מקבלים תמונה כללית):

$\textbf{F}=(2,-1)=2 \hat{\imath}-1 \hat{\jmath}$ (שדה וקטורי קבוע)

---

$\textbf{F}=(x,0)=x \hat{\imath}$

---

$\textbf{F}=(x,2y)=x \hat{\imath}+2y \hat{\jmath}$

---

$\textbf{F}=(y,-x)=y \hat{\imath}-x \hat{\jmath}$

---

$\textbf{F}=(-x,-y)=-x \hat{\imath}-y \hat{\jmath}$ (בכל נקודה (x,y) השדה מצביע בכוון ההפוך (x,-y-). בעקרון כל החצים צריכים להגיע לראשית אבל אז הציור יוצא פחות ברור...)

---

$\textbf{F}=\left( \frac{-x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}} \right)$

נשים לב שזהו הנרמול של השדה הוקטורי הקודם, שכן:

$\| (-x,-y) \|=\sqrt{(-x)^2+(-y)^2}=\sqrt{x^2+y^2}$

כלומר, הוקטורים מצביעים באותו כיוון כמו מקודם, אבל אורכם יהיה זהה.

הערה: כפי שנאמר בתרגול, השדה הזה לא מוגדר בראשית בגלל שהמכנה מתאפס שם.

---

נדבר כעת על השדה הסקלרי (פונקציה סקלרית) $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ המוגדר על ידי $f(x,y)=x^2+y^2$

את הגרף של $f$ נוכל לצייר ב-$\mathbb{R}^3$ (מרחב $x,y,z$) כאשר $z=x^2+y^2$

את הגרדיאנט של $f$ אפשר לחשב בקלות:

$\nabla f(x,y)=(2x,2y)$

זהו שדה וקטורי, שנראה כך:

כפי שנאמר בכיתה, השדה הגרדיאנטי מצביע תמיד בכוון העלייה התלולה ביותר בפונקציה (במקרה זה הוא מצביע הרחק מהראשית).

עקומות הרמה במקרה זה הן העקומות שבהן $x^2+y^2=c$ כאשר $c$ קבוע. אם $c$ שלילי זוהי קבוצה ריקה. אם $c \ge 0$ מדובר במעגל בעל רדיוס $\sqrt{c}$ שמרכזו ב-$(0,0)$. הנה אנימציה שבה חותכים את המשטח $z=x^2+y^2$ עם המישור הקבוע $z=c$ עבור ערכים שונים של $c$ (אולי לא כל כך בקרוב...)