88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 10

שאלה 1

יהי $(X,\mathcal S,\mu)$ ממ"ח, ויהיו $1 \le r<p<\infty$.

הוכיחו כי לא בהכרח מתקיים $L^p(X,\mathcal S,\mu) \subseteq L^r(X,\mathcal S,\mu)$ וגם כי ההכלה ההפוכה, $L^r(X,\mathcal S,\mu) \subseteq L^p(X,\mathcal S,\mu)$ אינה בהכרח נכונה.

שאלה 2

נניח כי $\mu(X)=1$, $f,g:X \to [0,\infty]$ פונקציות מדידות ואי-שליליות המקיימות $fg \ge 1$ כב"מ ($d \mu$). הוכיחו כי $\left( \int_X f \, d\mu \right) \left( \int_X g \, d \mu \right) \ge 1$.

שאלה 3

כזכור, $\ell^\infty$ הוא מרחב כל הסדרות $\textbf{x}=\{ x_n \}_{n=1}^\infty$ המקיימות $\| \textbf{x} \|_\infty:=\sup_n | x_n |<\infty$. נגדיר תת מרחב $X \subseteq \ell^\infty$, להיות מרחב כל הסדרות שמתאפסות פרט למספר סופי של אינדקסים. הוכיחו כי $X$ אינו בנך.

בהצלחה!