88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 5

שאלה 1

תזכורת: מידה $\mu$ על מרחב מדיד $(X,\mathcal{S})$ נקראת שלמה אם לכל קבוצה מדידה $E \in \mathcal{S}$, עבורה $\mu(E)=0$, מתקיים שכל תת-קבוצה שלה $F \subseteq E$ היא מדידה (כלומר נמצאת ב-$\mathcal{S}$).

יהי $(X,\mathcal{S},\mu)$ מרחב מידה חיובית ושלמה ותהי $f:X \to \mathbb{R}^*$ פונקציה מדידה. תהי $g:X \to \mathbb{R}^*$ פונקציה השווה ל-$f$ כמעט בכל מקום, ז"א $\mu \left( \{ x \in X:f(x) \neq g(x) \} \right)=0$. הוכיחו כי $g$ אף היא מדידה.

שאלה 2

בתרגיל הקודם הוכחנו שלכל $p>0$ מתקיים $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(p+n)^2}=-\int_0^1 \frac{x^p}{1-x} \log x \, dm(x)$. לא קשה לראות שהנוסחה נכונה גם עבור $p=0$, ובמקרה זה מקבלים $-\int_0^1 \frac{\log x}{1-x} \, dm(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\zeta(2)$, כאשר $\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ היא פונקצית זטא של רימן.

הוכיחו את ההכללה הבאה של תוצאה זו: לכל $s \ge 2$ טבעי $\zeta(s)=\frac{1}{(s-1)!} \int_{0}^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x-1} \, dm(x)$.

הדרכה:

א. הוכיחו כי לכל $s \ge 2$ וטבעי מתקיים $-\int_0^1 \frac{\log^{s-1} x}{1-x} \, dm(x)=(-1)^{s} (s-1)! \zeta(s)$ (ההוכחה דומה לתרגיל הקודם).

ב. בצעו החלפת משתנים מתאימה, כלומר כזו שתעביר את תחום האינטגרציה מהקטע $(0,1)$ אל הקרן $(0,\infty)$ (אולי עדיף לפצל לשתי החלפות משתנים).

ג. ברכות! מצאתם ייצוג אינטגרלי של פונקציית זטא.

שאלה 3

יהיו $a \neq 0,b$ מספרים ממשיים, ותהי $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ מדידה לבג ואינטגרבילית. הוכיחו כי מתקיים $\frac{1}{|a|} \int_\mathbb{R} f(x)=\int_\mathbb{R} f(ax+b)$.

הדרכה:

א. הוכיחו זאת תחילה לפונקציות אינדיקטור. לשם כך בדקו מהי הפונקציה $I_E(ax+b)$ כאשר $I_E(x)=\begin{cases} 1 & x \in E \\ 0 & x \notin E \end{cases}$

ב. הוכיחו כי הטענה נכונה גם לפונקציות פשוטות.

ג. הוכיחו זאת לפונקציות חיוביות כלשהן בעזרת משפט ההתכנסות המונוטונית של לבג.

ד. כדי להראות זאת לפונקציה כללית, אפשר להראות שאם $g(x)=f(ax+b)$, אזי $g^+(x)=f^+(ax+b)$ ו-$g^-(x)=f^-(ax+b)$. כאשר $g^+ \ge 0$ ו-$g^- \ge 0$ הן החלק החיובי והחלק השלילי בהתאמה של הפונקציה $g$.

בהצלחה!