88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 9

שאלה 1

יהיו הממ"חים $(X,\mathcal S,\mu)=(Y, \mathcal T, \nu)=(\mathbb N, \mathcal P(\mathbb N), \#)$, כאשר $\#$ היא מידת הספירה.

נגדיר פונקציה $f:X \times Y \to \mathbb R$ ע"י $f(m,n)=\begin{cases} 2-2^{-m} & m=n\\ -2+2^{-m} & m=n+1\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$.

א. מהו מלבן מדיד במרחב המכפלה $X \times Y$?

ב. הוכיחו כי $f$ מדידה במרחב המכפלה.

ג. הוכיחו כי מתקיים $\int_\mathbb{N} \left[ \int_\mathbb{N} f(m,n) \, d\#(m) \right] \, d\#(n) \neq \int_\mathbb{N} \left[ \int_\mathbb{N} f(m,n) \, d\#(n) \right] \, d\#(m)$

ד. הסבירו מדוע סעיף ג' לא סותר את משפטי פוביני וטונלי.

שאלה 2 (שאלה מס' 3 במבחן שנת תשע"א)

א. אפיינו קבוצות מדידות ביחס למידת המכפילה $u \times v$.

ב. צטטו את משפט טונלי.

ג. נניח ש-$(X,\mathcal S, u)$ ו-$(Y,\mathcal T,v)$ הם שני מרחבי מידה חיובית, כאשר המידות $u$ ו-$v$ שלימות ו-$\sigma$-סופיות. כרגיל נגדיר את מידת המכפילה $w=u \times v$. תהי $E \subseteq X \times Y$ מדידה $dw$, ותהי $w(E)=0$.

הוכיחו שלכמעט כל $x \in X$ הקבוצה $E_x=\{y \in Y: (x,y) \in E \}$ מקיימת $v(E_x)=0$.

יש לפתור רק את סעיף ג'

שאלה 3 (בונוס בשווי 15 נקודות)

השתמשו בזהות $\frac{1}{x}=\int_0^\infty e^{-xy} dy$ ובמשפט פוביני כדי לחשב את $\int_0^b \int_0^\infty e^{-xy} \sin{x} \,dy \,dx$ בשתי דרכים שונות.

ע"י זה הוכיחו כי $\lim_{b \to \infty} \int_0^b \frac{\sin x}{x} \,dx=\frac{\pi}{2}$.

אינטגרל שימושי: $\int e^{au} \sin u \,du= \frac{e^{au} \left(a \sin u -\cos u \right)}{1+a^2}+C$

הערה: האינטגרלים מתכנסים בהחלט, ולכן אפשר היה לרשום $dm(x),dm(y)$ במקום $dx,dy$.

שאלה 4

יהי $X$ אוסף כל הפולינומים עם מקדמים ממשיים $p: \mathbb R \to \mathbb R$. ברור כי $X$ הוא מרחב וקטורי (אין צורך להוכיח זאת).

לכל פולינום $p \in X$ נגדיר את $\| p \|$ להיות הסכום של הערכים המוחלטים של המקדמים של $p$.

האם $\| \cdot \|$ היא נורמה על $X$? ואם לא, אילו מאקסיומות הנורמה היא מקיימת?

שאלה 5

יהי $(X,\| \cdot \|)$ מרחב בנך (מרחב נורמי שלם). ויהי $Y \le X$ תת מרחב סגור. הוכיחו כי $(Y,\| \cdot \|)$ הוא מרחב בנך.