הבדלים בין גרסאות בדף "88-611 אנליזה 1 למורים סמסטר א תשעו/מערכי תרגול/שיעור 1"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "1111111111111111111111111111111111111155555555555555555555")
 
שורה 1: שורה 1:
−
1111111111111111111111111111111111111155555555555555555555
+
===חזקות ושורשים===
 +
1) אם a הוא מספר כלשהוא ו-n מספר טבעי, אזי a בחזקת n מוגדר באופן הבא: <math>a^{n}=a\cdot a\cdots a </math>, מספר a נקרא בסיס
 +
החזקה, מספר n נקרא מעריך החזקה.
 +
 
 +
2) ניקח מספר ממשי חיובי x וניקח חזקה <math>\frac{1}{n} </math> כאשר n הוא מספר טבעי.נגדיר את x בחזקת <math>\frac{1}{n} </math>
 +
להיות השורש ה-n-י של x: <math>y=x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x} </math>
 +
 
 +
3) באופן כללי נגדיר חזקה רציונאלית באופן הבא: <math>x^{\frac{p}{q}}=\left(\sqrt[q]{x}\right)^{p} </math>
 +
 
 +
===חוקי חזקות===
 +
* לכל x מתקיים <math>1^{x}=1  </math>
 +
* לכל x מתקיים <math>x^{0}=1  </math> ובפרט <math>0^{0}=1  </math>
 +
* לכל x שונה מאפס מתקיים <math>0^{x}=0  </math>
 +
* <math>x^{q}x^{b}=x^{a+b}  </math>
 +
* <math>x^{-a}=\frac{1}{x^{a}}  </math>
 +
* <math>\frac{x^{a}}{x^{b}}=a^{a-b} </math>
 +
 
 +
הגדרה: פונקציה מעריכית היא פונקציה מהצורה <math>y=a^{x}  </math> כאשר בסיס a הוא מספר קבוע.
 +
 
 +
תרגיל: מצא את הפתרונות של המשוואה <math>2\left(\frac{4^{x}+1}{2^{x}}\right)^{2}-7\left(\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}\right)+5=0  </math>
 +
 
 +
פתרון: ראשית נשים לב לכך ש:<math>\frac{4^{x}+1}{2^{x}}=\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}=2^{x}+\frac{1}{2^{x}} </math>
 +
ולכן נסמן <math>t=2^{x}+\frac{1}{2^{x}}  </math> נציב את t במשוואה ונקבל <math>2t^{2}-7t+5=0 </math> עם הפתרונות <math>t=1,\frac{1}{2}  </math>, לכן עלינו לפתור שתי משוואות:
 +
1) <math>2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=1  </math> נעשה מכנה משותף ונקבל <math>\left(2^{x}\right)^{2}-2^{x}+1=0  </math> נסמן ב-<math>s=2^{x}  </math> ונקבל משוואה <math>s^{2}-s+1=0 </math> קל לראות שלמשוואה הזאת אין פתרון.
 +
2) <math>2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=\frac{5}{2} </math> שוב נעשה מכנה משותף ונקבל <math>2s^{2}-5s+2=0  </math> לאחר שנציב <math>s=2^{x} </math>, פתרונות למשוואה הזאת הם <math>s=2^{x} </math> ולכן פתרון כללי הוא <math>x_{1}=1  x_{2}=-1 </math>
 +
 
 +
===הגדרת הלוגריתם===
 +
לוגריתם של מספר x לפי בסיס a הוא b אם b הוא מעריך החזקה שבסיסה a וערכה x, כלומר <math>a^{x}=x\Leftrightarrow log_{a}x=b  </math>.
 +
 
 +
===תכונות===
 +
אם <math>log_{a}x=b  </math> אזי:
 +
1) <math>1\neq a>0 </math>
 +
2) <math>x>0  </math>
 +
3) b מספר כלשהוא.
 +
4) <math>a^{log_{a}x}=b  </math>
 +
 
 +
הגדרה: פונקציה לוגריתמית היא פונקציה מהצורה <math>y=log_{a}x </math> כאשר a הוא מספר קבוע חיובי ושונה מ-1 ותחום ההגדרה שלה הוא <math>x>0</math>.

גרסה מ־17:29, 20 באוקטובר 2015

חזקות ושורשים

1) אם a הוא מספר כלשהוא ו-n מספר טבעי, אזי a בחזקת n מוגדר באופן הבא: a^{n}=a\cdot a\cdots a , מספר a נקרא בסיס החזקה, מספר n נקרא מעריך החזקה.

2) ניקח מספר ממשי חיובי x וניקח חזקה \frac{1}{n} כאשר n הוא מספר טבעי.נגדיר את x בחזקת \frac{1}{n} להיות השורש ה-n-י של x: y=x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}

3) באופן כללי נגדיר חזקה רציונאלית באופן הבא: x^{\frac{p}{q}}=\left(\sqrt[q]{x}\right)^{p}

חוקי חזקות

  • לכל x מתקיים 1^{x}=1
  • לכל x מתקיים x^{0}=1 ובפרט 0^{0}=1
  • לכל x שונה מאפס מתקיים 0^{x}=0
  • x^{q}x^{b}=x^{a+b}
  • x^{-a}=\frac{1}{x^{a}}
  • \frac{x^{a}}{x^{b}}=a^{a-b}

הגדרה: פונקציה מעריכית היא פונקציה מהצורה y=a^{x} כאשר בסיס a הוא מספר קבוע.

תרגיל: מצא את הפתרונות של המשוואה 2\left(\frac{4^{x}+1}{2^{x}}\right)^{2}-7\left(\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}\right)+5=0

פתרון: ראשית נשים לב לכך ש:\frac{4^{x}+1}{2^{x}}=\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}=2^{x}+\frac{1}{2^{x}} ולכן נסמן t=2^{x}+\frac{1}{2^{x}} נציב את t במשוואה ונקבל 2t^{2}-7t+5=0 עם הפתרונות t=1,\frac{1}{2} , לכן עלינו לפתור שתי משוואות: 1) 2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=1 נעשה מכנה משותף ונקבל \left(2^{x}\right)^{2}-2^{x}+1=0 נסמן ב-s=2^{x} ונקבל משוואה s^{2}-s+1=0 קל לראות שלמשוואה הזאת אין פתרון. 2) 2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=\frac{5}{2} שוב נעשה מכנה משותף ונקבל 2s^{2}-5s+2=0 לאחר שנציב s=2^{x} , פתרונות למשוואה הזאת הם s=2^{x} ולכן פתרון כללי הוא x_{1}=1 x_{2}=-1

הגדרת הלוגריתם

לוגריתם של מספר x לפי בסיס a הוא b אם b הוא מעריך החזקה שבסיסה a וערכה x, כלומר a^{x}=x\Leftrightarrow log_{a}x=b .

תכונות

אם log_{a}x=b אזי: 1) 1\neq a>0 2) x>0 3) b מספר כלשהוא. 4) a^{log_{a}x}=b

הגדרה: פונקציה לוגריתמית היא פונקציה מהצורה y=log_{a}x כאשר a הוא מספר קבוע חיובי ושונה מ-1 ותחום ההגדרה שלה הוא x>0.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-611_אנליזה_1_למורים_סמסטר_א_תשעו/מערכי_תרגול/שיעור_1&oldid=62959