הבדלים בין גרסאות בדף "88-611 אנליזה 1 למורים סמסטר א תשעו/מערכי תרגול/שיעור 1"

גרסה מ־17:54, 20 באוקטובר 2015

תוכן עניינים

1 חזקות ושורשים
2 חוקי חזקות
3 הגדרת הלוגריתם
4 תכונות
5 חוקי לוגריתמים
6 ערך מוחלט ואי שוויון
7 תכונות של ערך מוחלט

חזקות ושורשים

1) אם a הוא מספר כלשהוא ו-n מספר טבעי, אזי a בחזקת n מוגדר באופן הבא: $a^{n}=a\cdot a\cdots a$ , מספר a נקרא בסיס החזקה, מספר n נקרא מעריך החזקה.

2) ניקח מספר ממשי חיובי x וניקח חזקה $\frac{1}{n}$ כאשר n הוא מספר טבעי.נגדיר את x בחזקת $\frac{1}{n}$ להיות השורש ה-n-י של x: $y=x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}$

3) באופן כללי נגדיר חזקה רציונאלית באופן הבא: $x^{\frac{p}{q}}=\left(\sqrt[q]{x}\right)^{p}$

חוקי חזקות

לכל x מתקיים $1^{x}=1$
לכל x מתקיים $x^{0}=1$ ובפרט $0^{0}=1$
לכל x שונה מאפס מתקיים $0^{x}=0$
$x^{q}x^{b}=x^{a+b}$
$x^{-a}=\frac{1}{x^{a}}$
$\frac{x^{a}}{x^{b}}=a^{a-b}$

הגדרה: פונקציה מעריכית היא פונקציה מהצורה $y=a^{x}$ כאשר בסיס a הוא מספר קבוע.

תרגיל: מצא את הפתרונות של המשוואה $2\left(\frac{4^{x}+1}{2^{x}}\right)^{2}-7\left(\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}\right)+5=0$

פתרון: ראשית נשים לב לכך ש: $\frac{4^{x}+1}{2^{x}}=\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}=2^{x}+\frac{1}{2^{x}}$ ולכן נסמן $t=2^{x}+\frac{1}{2^{x}}$ נציב את t במשוואה ונקבל $2t^{2}-7t+5=0$ עם הפתרונות $t=1,\frac{1}{2}$ , לכן עלינו לפתור שתי משוואות:

1) $2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=1$ נעשה מכנה משותף ונקבל $\left(2^{x}\right)^{2}-2^{x}+1=0$ נסמן ב- $s=2^{x}$ ונקבל משוואה $s^{2}-s+1=0$ קל לראות שלמשוואה הזאת אין פתרון.

2) $2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=\frac{5}{2}$ שוב נעשה מכנה משותף ונקבל $2s^{2}-5s+2=0$ לאחר שנציב $s=2^{x}$ , פתרונות למשוואה הזאת הם $s=2^{x}$ ולכן פתרון כללי הוא $x_{1}=1 x_{2}=-1$

הגדרת הלוגריתם

לוגריתם של מספר x לפי בסיס a הוא b אם b הוא מעריך החזקה שבסיסה a וערכה x, כלומר $a^{x}=x\Leftrightarrow log_{a}x=b$ .

תכונות

אם $log_{a}x=b$ אזי:

1) $1\neq a>0$

2) $x>0$

3) b מספר כלשהוא.

4) $a^{log_{a}x}=b$

הגדרה: פונקציה לוגריתמית היא פונקציה מהצורה $y=log_{a}x$ כאשר a הוא מספר קבוע חיובי ושונה מ-1 ותחום ההגדרה שלה הוא $x>0$ .

חוקי לוגריתמים

1) $log_{a}\left(xy\right)=log_{a}x+log_{a}y$

2) $log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)=log_{a}x-log_{a}y$

3) $log_{a}x^{n}=nlog_{a}x$

4) $log_{m}x=\frac{log_{a}x}{log_{a}m}$

5) $\text{[math]}$ וגם $log_{a}\left(a\right)=1$

הערה: מקרה פרטי החשוב ביותר בו נתענין בקורס הוא $log_{e}x=lnx$ כאשר $e\approx2.51$

תרגיל: פתרו את $e\approx2.51$ פתרון: נשתמש בחוקי הלוגריתמים $ln\left(\left(1+x\right)\left(1-x\right)\right)=0$ ואז נקבל $ln\left(1-x^{2}\right)=0$ ואז לפי ההגדרה של הלוגריתם מקבלים $1-x^{2}=1$ u> ולכן תושב סופי היא היא x שווה אפס.

ערך מוחלט ואי שוויון

הגדרה: ערך מוחלט של מספר הוא המרחק שלו מנקודה אפס ומסמנים אותו בצורה הבאה: $\mid x\mid=\begin{cases} x & x\geq0\\ -x & x\leq0 \end{cases}$

מרחק בין שתי נקודות מוגדר להיות $\mid x-y\mid$

תכונות של ערך מוחלט

1) לכל x מתקיים $\mid x\mid\geq0$

2) $\mid x\mid=0$ אם ורק אם $x=0$

3) $\mid xy\mid=\mid x\mid y\mid$

4) $\left(\mid x\mid\right)^{2}=x^{2}$

5) $x\leq\mid x\mid$

6) אי שוויון המשולש: $\mid x+y\mid\leq\mid x\mid+\mid y\mid$

@@ שורה 60: / שורה 60: @@
 תרגיל: פתרו את <math>e\approx2.51 </math>
 פתרון: נשתמש בחוקי הלוגריתמים <math>ln\left(\left(1+x\right)\left(1-x\right)\right)=0 </math> ואז נקבל <math>ln\left(1-x^{2}\right)=0  </math> ואז לפי ההגדרה של הלוגריתם מקבלים <math>1-x^{2}=1 </math> u> ולכן תושב סופי היא היא x שווה אפס.
+===ערך מוחלט ואי שוויון===
+הגדרה: ערך מוחלט של מספר הוא המרחק שלו מנקודה אפס ומסמנים אותו בצורה הבאה:
+<math>\mid x\mid=\begin{cases}
+x & x\geq0\\
+-x & x\leq0
+\end{cases} </math>
+מרחק בין שתי נקודות מוגדר להיות <math>\mid x-y\mid </math>
+===תכונות של ערך מוחלט===
+) לכל x מתקיים <math>\mid x\mid\geq0 </math>
+) <math>\mid x\mid=0  </math> אם ורק אם <math>x=0 </math>
+) <math>\mid xy\mid=\mid x\mid y\mid </math>
+) <math>\left(\mid x\mid\right)^{2}=x^{2} </math>
+) <math>x\leq\mid x\mid  </math>
+) אי שוויון המשולש: <math>\mid x+y\mid\leq\mid x\mid+\mid y\mid </math>

הבדלים בין גרסאות בדף "88-611 אנליזה 1 למורים סמסטר א תשעו/מערכי תרגול/שיעור 1"

גרסה מ־17:54, 20 באוקטובר 2015

תוכן עניינים

חזקות ושורשים

חוקי חזקות

הגדרת הלוגריתם

תכונות

חוקי לוגריתמים

ערך מוחלט ואי שוויון

תכונות של ערך מוחלט

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים