הבדלים בין גרסאות בדף "88-611 אנליזה 1 למורים סמסטר א תשעו/מערכי תרגול/שיעור 1"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏אי שוויונים מעריכיים)
שורה 109: שורה 109:
  
 
===אי שוויונים מעריכיים===
 
===אי שוויונים מעריכיים===
 +
 +
בפתרון של אי שוויונים מעריכיים יש לשים לב לכללים הבאים:
 +
 +
1) כל הבסיסים המופיעים באי שוויון חייבים להיות חיוביים.
 +
 +
2) * אם <math>a>1  </math> אזי אם <math>x_{1}<x_{2} </math> אז <math>a^{x_{1}}<a^{x_{2}} </math> ולכן אי שוויון שבין החזקות זהה לאי שוויון שבין המעריכים.
 +
 +
* אם <math>0<a<1 </math> אזי אם <math>x_{1}<x_{2}  </math> אז <math>a^{x_{2}}<a^{x_{1}}  </math> ולכן אי השוויון שבין החזקות הוא הפוך בכיוונו לאי השוויון שבין המעריכים.
 +
 +
תרגיל: פתור את אי השוויון: <math>\left(x-3\right)^{5x}<\left(x-3\right)^{x^{2}}  </math>
 +
 +
פתרון: כאן x מופיע גם בחזקה וגם בבסיס ולכן נצטרך לחלק לשני מקרים:
 +
 +
מקרה 1: <math>x-3\geq1  </math> ולכן <math>x\geq4 </math> במקרה זה אי שוויון בין מעריכים הוא כמו אי שוויון בין החזקות ונקבל: <math>5x<x^{2}\Rightarrow x^{2}-5x>0\Rightarrow x\left(x-5\right)>0 </math> פתרון ואי שוויון זה הוא <math>x>5 </math> או <math>x<0  </math> ולכן חיתוך בין שני התחומים הוא <math>x>5 </math>
 +
 +
מקרה 2: <math>0<x-3<1\Rightarrow3<x<4 </math> ואז אי שוויון שבין המעריכים הפוך בכיוונו לאי שוויון שבין החזקות ולכן מתקיים <math>5x>x^{2} </math> ותרון לאי שוויון זה הוא <math>0<x<5  </math> והפתרון המקרה זה יהיה חיתוך בין שני התחומים והוא <math>3<x<4</math>
 +
 +
פתרון של אי שוויון יהיה איחוד בין שני המקרים: <math>x>5  </math> או <math>3<x<4</math>

גרסה מ־18:47, 20 באוקטובר 2015

חזקות ושורשים

1) אם a הוא מספר כלשהוא ו-n מספר טבעי, אזי a בחזקת n מוגדר באופן הבא: a^{n}=a\cdot a\cdots a , מספר a נקרא בסיס החזקה, מספר n נקרא מעריך החזקה.

2) ניקח מספר ממשי חיובי x וניקח חזקה \frac{1}{n} כאשר n הוא מספר טבעי.נגדיר את x בחזקת \frac{1}{n} להיות השורש ה-n-י של x: y=x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}

3) באופן כללי נגדיר חזקה רציונאלית באופן הבא: x^{\frac{p}{q}}=\left(\sqrt[q]{x}\right)^{p}

חוקי חזקות

  • לכל x מתקיים 1^{x}=1
  • לכל x מתקיים x^{0}=1 ובפרט 0^{0}=1
  • לכל x שונה מאפס מתקיים 0^{x}=0
  • x^{q}x^{b}=x^{a+b}
  • x^{-a}=\frac{1}{x^{a}}
  • \frac{x^{a}}{x^{b}}=a^{a-b}

הגדרה: פונקציה מעריכית היא פונקציה מהצורה y=a^{x} כאשר בסיס a הוא מספר קבוע.

תרגיל: מצא את הפתרונות של המשוואה 2\left(\frac{4^{x}+1}{2^{x}}\right)^{2}-7\left(\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}\right)+5=0

פתרון: ראשית נשים לב לכך ש:\frac{4^{x}+1}{2^{x}}=\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}=2^{x}+\frac{1}{2^{x}} ולכן נסמן t=2^{x}+\frac{1}{2^{x}} נציב את t במשוואה ונקבל 2t^{2}-7t+5=0 עם הפתרונות t=1,\frac{1}{2} , לכן עלינו לפתור שתי משוואות:

1) 2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=1 נעשה מכנה משותף ונקבל \left(2^{x}\right)^{2}-2^{x}+1=0 נסמן ב-s=2^{x} ונקבל משוואה s^{2}-s+1=0 קל לראות שלמשוואה הזאת אין פתרון.

2) 2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=\frac{5}{2} שוב נעשה מכנה משותף ונקבל 2s^{2}-5s+2=0 לאחר שנציב s=2^{x} , פתרונות למשוואה הזאת הם s=2^{x} ולכן פתרון כללי הוא x_{1}=1 x_{2}=-1

הגדרת הלוגריתם

לוגריתם של מספר x לפי בסיס a הוא b אם b הוא מעריך החזקה שבסיסה a וערכה x, כלומר a^{x}=x\Leftrightarrow log_{a}x=b .

תכונות

אם log_{a}x=b אזי:

1) 1\neq a>0

2) x>0

3) b מספר כלשהוא.

4) a^{log_{a}x}=b


הגדרה: פונקציה לוגריתמית היא פונקציה מהצורה y=log_{a}x כאשר a הוא מספר קבוע חיובי ושונה מ-1 ותחום ההגדרה שלה הוא x>0.

חוקי לוגריתמים

1) log_{a}\left(xy\right)=log_{a}x+log_{a}y

2) log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)=log_{a}x-log_{a}y

3) log_{a}x^{n}=nlog_{a}x

4) log_{m}x=\frac{log_{a}x}{log_{a}m}

5) formula וגם log_{a}\left(a\right)=1

הערה: מקרה פרטי החשוב ביותר בו נתענין בקורס הוא log_{e}x=lnx כאשר e\approx2.51

תרגיל: פתרו את e\approx2.51 פתרון: נשתמש בחוקי הלוגריתמים ln\left(\left(1+x\right)\left(1-x\right)\right)=0 ואז נקבל ln\left(1-x^{2}\right)=0 ואז לפי ההגדרה של הלוגריתם מקבלים 1-x^{2}=1 u> ולכן תושב סופי היא היא x שווה אפס.

ערך מוחלט ואי שוויון

הגדרה: ערך מוחלט של מספר הוא המרחק שלו מנקודה אפס ומסמנים אותו בצורה הבאה: \mid x\mid=\begin{cases} x & x\geq0\\ -x & x\leq0 \end{cases}

מרחק בין שתי נקודות מוגדר להיות \mid x-y\mid

תכונות של ערך מוחלט

1) לכל x מתקיים \mid x\mid\geq0

2) \mid x\mid=0 אם ורק אם x=0

3) \mid xy\mid=\mid x\mid y\mid

4) \left(\mid x\mid\right)^{2}=x^{2}

5) x\leq\mid x\mid

6) אי שוויון המשולש: \mid x+y\mid\leq\mid x\mid+\mid y\mid

7) נניח ש-L מספר אי שלילי אזי \mid x\mid\leq L\Leftrightarrow-L\leq x\leq L

תכונות של אי שוויונים

  • x\leq y\Leftrightarrow-x\geq-y
  • נניח ש-x,y אי שליליים אזי x\leq y\Leftrightarrow x^{2}\leq y^{2}
  • נניח ש-x,y אי שליליים אזי x\leq y\Leftrightarrow\frac{1}{x}\geq\frac{1}{y}

תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השוויון הבא: \mid2x-1\mid>\mid x-1\mid

פתרון: מקרה ראשון: 2x-1\geq0\Rightarrow x\geq\frac{1}{2} וגם x-1\geq0\Rightarrow x\geq1

במקרה הזה נוריד את ערך מוחלט ונקבל 2x-1>x-1\Rightarrow x>0 , חיתוך בין שלושת התחומים הוא x\geq1 וזה פתרון במקרה 1.

מקרה 2: 2x-1\geq0\Rightarrow x\geq\frac{1}{2} וגם x-1<0\Rightarrow x<1 ולכן לאחר שנוריד את ערך מוחלט נוסיף מינוס לפני x-1 ונקבל 2x-1>-(x-1)\Rightarrow x>\frac{2}{3} ולכן חיתוך בין שלושת התחומים הוא \frac{2}{3}<x<1

מקרה 3: 2x-1<0\Rightarrow x<\frac{1}{2} וגם x-1<0\Rightarrow x<1 ולכן לאחר שנוריד את ערך מוחט נוסיף מינוס לפני כל אחד משלושת הביטויים ונקבל: -(2x-1)>-(x-1)\Rightarrow x<0

ולכן פתרון לאי שוויום יהיה איחוד של שלושת המקרים: x\geq1 או \frac{2}{3}<x<1 או x<0

אי שוויונים מעריכיים

בפתרון של אי שוויונים מעריכיים יש לשים לב לכללים הבאים:

1) כל הבסיסים המופיעים באי שוויון חייבים להיות חיוביים.

2) * אם a>1 אזי אם x_{1}<x_{2} אז a^{x_{1}}<a^{x_{2}} ולכן אי שוויון שבין החזקות זהה לאי שוויון שבין המעריכים.

  • אם 0<a<1 אזי אם x_{1}<x_{2} אז a^{x_{2}}<a^{x_{1}} ולכן אי השוויון שבין החזקות הוא הפוך בכיוונו לאי השוויון שבין המעריכים.

תרגיל: פתור את אי השוויון: \left(x-3\right)^{5x}<\left(x-3\right)^{x^{2}}

פתרון: כאן x מופיע גם בחזקה וגם בבסיס ולכן נצטרך לחלק לשני מקרים:

מקרה 1: x-3\geq1 ולכן x\geq4 במקרה זה אי שוויון בין מעריכים הוא כמו אי שוויון בין החזקות ונקבל: 5x<x^{2}\Rightarrow x^{2}-5x>0\Rightarrow x\left(x-5\right)>0 פתרון ואי שוויון זה הוא x>5 או x<0 ולכן חיתוך בין שני התחומים הוא x>5

מקרה 2: 0<x-3<1\Rightarrow3<x<4 ואז אי שוויון שבין המעריכים הפוך בכיוונו לאי שוויון שבין החזקות ולכן מתקיים 5x>x^{2} ותרון לאי שוויון זה הוא 0<x<5 והפתרון המקרה זה יהיה חיתוך בין שני התחומים והוא 3<x<4

פתרון של אי שוויון יהיה איחוד בין שני המקרים: x>5 או 3<x<4

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-611_אנליזה_1_למורים_סמסטר_א_תשעו/מערכי_תרגול/שיעור_1&oldid=62970