88-611 אנליזה 1 למורים סמסטר א תשעו/מערכי תרגול/שיעור 1

חזקות ושורשים

1) אם a הוא מספר כלשהוא ו-n מספר טבעי, אזי a בחזקת n מוגדר באופן הבא: $a^{n}=a\cdot a\cdots a$, מספר a נקרא בסיס החזקה, מספר n נקרא מעריך החזקה.

2) ניקח מספר ממשי חיובי x וניקח חזקה $\frac{1}{n}$ כאשר n הוא מספר טבעי.נגדיר את x בחזקת $\frac{1}{n}$ להיות השורש ה-n-י של x: $y=x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}$

3) באופן כללי נגדיר חזקה רציונאלית באופן הבא: $x^{\frac{p}{q}}=\left(\sqrt[q]{x}\right)^{p}$

חוקי חזקות

• לכל x מתקיים $1^{x}=1$
• לכל x מתקיים $x^{0}=1$ ובפרט $0^{0}=1$
• לכל x שונה מאפס מתקיים $0^{x}=0$
• $x^{q}x^{b}=x^{a+b}$
• $x^{-a}=\frac{1}{x^{a}}$
• $\frac{x^{a}}{x^{b}}=a^{a-b}$

הגדרה: פונקציה מעריכית היא פונקציה מהצורה $y=a^{x}$ כאשר בסיס a הוא מספר קבוע.

תרגיל: מצא את הפתרונות של המשוואה $2\left(\frac{4^{x}+1}{2^{x}}\right)^{2}-7\left(\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}\right)+5=0$

פתרון: ראשית נשים לב לכך ש:$\frac{4^{x}+1}{2^{x}}=\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}=2^{x}+\frac{1}{2^{x}}$ ולכן נסמן $t=2^{x}+\frac{1}{2^{x}}$ נציב את t במשוואה ונקבל $2t^{2}-7t+5=0$ עם הפתרונות $t=1,\frac{1}{2}$, לכן עלינו לפתור שתי משוואות:

1) $2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=1$ נעשה מכנה משותף ונקבל $\left(2^{x}\right)^{2}-2^{x}+1=0$ נסמן ב-$s=2^{x}$ ונקבל משוואה $s^{2}-s+1=0$ קל לראות שלמשוואה הזאת אין פתרון.

2) $2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=\frac{5}{2}$ שוב נעשה מכנה משותף ונקבל $2s^{2}-5s+2=0$ לאחר שנציב $s=2^{x}$, פתרונות למשוואה הזאת הם $s=2^{x}$ ולכן פתרון כללי הוא $x_{1}=1 x_{2}=-1$

הגדרת הלוגריתם

לוגריתם של מספר x לפי בסיס a הוא b אם b הוא מעריך החזקה שבסיסה a וערכה x, כלומר $a^{x}=x\Leftrightarrow log_{a}x=b$.

תכונות

אם $log_{a}x=b$ אזי: 1) $1\neq a>0$ 2) $x>0$ 3) b מספר כלשהוא. 4) $a^{log_{a}x}=b$

הגדרה: פונקציה לוגריתמית היא פונקציה מהצורה $y=log_{a}x$ כאשר a הוא מספר קבוע חיובי ושונה מ-1 ותחום ההגדרה שלה הוא $x>0$.