הצגת המקור של פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4

'''השאלה:'''
נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות <math>A</math> ו <math>B</math> דומות.

'''פתרון:'''

'''הגדרה:'''

האינדקס של ערך עצמי <math>\lambda</math> הוא <math>max\{k : (x-\lambda)^{k}\vert m_{A}(x)\}</math> 

כאשר יש ע"ע יחיד הפולינום האופייני הוא <math>(x-\lambda)^{3}</math> כמו שהראנו קודם

בגלל שהפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני האינדקס של <math>\lambda\in\{1,2,3\}</math>

'''נניח שהאינדקס 1'''

נקבל שהבלוק ג'ורדן הכי גדול בצורת ג'ורדן הוא מסדר 1

כלומר קיבלנו מטריצה סקלרית <math>\lambda I</math> ולכן היא יחידה

'''נניח שהאינדקס 2'''

נקבל שבצורת ג'ורדן הבלוק הכי גדול <math>J_{m}(\lambda)</math> הוא עבור m=2 ולכן נשאר לנו מקום רק לבלוק מסדר אחד כלומר צורת ג'ורדן מורכבת מ <math>J_{2}(\lambda)</math>,<math>J_{1}(\lambda)</math> 

'''נניח שהאינדקס 3'''

נקבל שיש רק בלוק אחד מסדר 3

בסופו של דבר הראנו שהפולינום האופייני והמינימלי מגדירים באופן יחיד את צורת הג'ורדן  ולכן נניח יש ל-A ול-B אתו פוינום אופיינו ומינימלי נקבל:

<math>B\sim J_{B}=J_{A}\sim A</math> 

ומטרנזיטיביות של דמיון מטריצות<math>A \sim B</math>

נניח שיש 2 שורשים שונים <math>\lambda_{1},\lambda_{2}</math> כלומר 2 ערכים עצמיים שונים נניח בלי הגבלת הכלליות :

<math>f_{A}\left(x\right)=\left(x-\lambda_{2}\right)^{2}\left(x-\lambda_{1}\right)</math>

נבדוק כל אחד מהאפשרויות עבור האינדקס של<math>\lambda_{2}</math>

'''נניח שהוא 1'''

נקבל שכל בלוק הוא מסדר 1 (כי האינדקס קטן מהריבוי האלגברי והריבוי האלגברי של<math>\lambda_{1}</math> הוא 1)
ולכן יש צורת ג'ורדן יחידה אלכסונית

'''נניח שהוא 2'''

נקבל שקיים בלוק מסדר 2 וזה חייב להיות <math>\lambda_{2}</math> ולכן עוד פעם צורת ג'ורדן מוגדרת באופן יחיד ע"י הפולינים: האופייני והמינימלי ולכן מאותו נימוק כמו קודם:

<math>B\sim J_{B}=J_{A}\sim A</math> 

ומטרנזיטיביות של דמיון מטריצות <math>A \sim B</math>