הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4"

גרסה אחרונה מ־23:09, 8 בינואר 2012

השאלה: נניח שלמטריצות $A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3}$ יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות $A$ ו $B$ דומות.

פתרון:

הגדרה:

האינדקס של ערך עצמי $\lambda$ הוא $max\{k : (x-\lambda)^{k}\vert m_{A}(x)\}$

כאשר יש ע"ע יחיד הפולינום האופייני הוא $(x-\lambda)^{3}$ כמו שהראנו קודם

בגלל שהפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני האינדקס של $\lambda\in\{1,2,3\}$

נניח שהאינדקס 1

נקבל שהבלוק ג'ורדן הכי גדול בצורת ג'ורדן הוא מסדר 1

כלומר קיבלנו מטריצה סקלרית $\lambda I$ ולכן היא יחידה

נניח שהאינדקס 2

נקבל שבצורת ג'ורדן הבלוק הכי גדול $J_{m}(\lambda)$ הוא עבור m=2 ולכן נשאר לנו מקום רק לבלוק מסדר אחד כלומר צורת ג'ורדן מורכבת מ $J_{2}(\lambda)$ , $J_{1}(\lambda)$

נניח שהאינדקס 3

נקבל שיש רק בלוק אחד מסדר 3

בסופו של דבר הראנו שהפולינום האופייני והמינימלי מגדירים באופן יחיד את צורת הג'ורדן ולכן נניח יש ל-A ול-B אתו פוינום אופיינו ומינימלי נקבל:

$B\sim J_{B}=J_{A}\sim A$

ומטרנזיטיביות של דמיון מטריצות $A \sim B$

נניח שיש 2 שורשים שונים $\lambda_{1},\lambda_{2}$ כלומר 2 ערכים עצמיים שונים נניח בלי הגבלת הכלליות :

$f_{A}\left(x\right)=\left(x-\lambda_{2}\right)^{2}\left(x-\lambda_{1}\right)$

נבדוק כל אחד מהאפשרויות עבור האינדקס של $\lambda_{2}$

נניח שהוא 1

נקבל שכל בלוק הוא מסדר 1 (כי האינדקס קטן מהריבוי האלגברי והריבוי האלגברי של $\lambda_{1}$ הוא 1) ולכן יש צורת ג'ורדן יחידה אלכסונית

נניח שהוא 2

נקבל שקיים בלוק מסדר 2 וזה חייב להיות $\lambda_{2}$ ולכן עוד פעם צורת ג'ורדן מוגדרת באופן יחיד ע"י הפולינים: האופייני והמינימלי ולכן מאותו נימוק כמו קודם:

$B\sim J_{B}=J_{A}\sim A$

ומטרנזיטיביות של דמיון מטריצות $A \sim B$

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 '''השאלה:'''
-נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.
+נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות <math>A</math> ו <math>B</math> דומות.
 '''פתרון:'''
-אני מאמין שיש פיתרון אלגנטי יותר, אבל כאן יש שימוש בצורת ג'ורדן - אז למה לא?
-'''הרעיון בכלליות:'''
+'''הגדרה:'''
-נראה שעבור כל צורה של פ"א ופ"מ (בהתאם לאופייני) למטריצות A, B אותה צורת ג'ורדן ולכן הן דומות. בגלל שהסדר שלהן קטן יחסית (כי מהחל מסדר 4 המשפט לא מתקיים, אבל אותו רעיון של הוכחה יעבוד עבור סדר 2) אז יש רק צורה אפשרית אחת (עד כדי סדר בלוקים) לכל בחירה של אופייני ומינימלי.
-סימונים:
+האינדקס של ערך עצמי <math>\lambda</math> הוא <math>max\{k : (x-\lambda)^{k}\vert m_{A}(x)\}</math>
-<math>f_{A}(x)</math> הפולינום האופייני של המטריצה A
-<math>m_{A}(x)</math> הפולינום המינימלי של המטריצה A
+כאשר יש ע"ע יחיד הפולינום האופייני הוא <math>(x-\lambda)^{3}</math> כמו שהראנו קודם
-<math>J_{A}</math>  צורת הג'ורדן של המטריצה A
+בגלל שהפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני האינדקס של <math>\lambda\in\{1,2,3\}</math>
-<math>J_{m}(\lambda )</math> בלוק ג'ורדן מסדר m המתאים לערך העצמי <math>\lambda </math>
+'''נניח שהאינדקס 1'''
+נקבל שהבלוק ג'ורדן הכי גדול בצורת ג'ורדן הוא מסדר 1
+כלומר קיבלנו מטריצה סקלרית <math>\lambda I</math> ולכן היא יחידה
-אנו יודעים ש<math>rank(A)=3</math> ולכן גם <math>deg(f_{A})=3</math>
+'''נניח שהאינדקס 2'''
-נפצל את הפתרון לכמה מקרים:
+נקבל שבצורת ג'ורדן הבלוק הכי גדול <math>J_{m}(\lambda)</math> הוא עבור m=2 ולכן נשאר לנו מקום רק לבלוק מסדר אחד כלומר צורת ג'ורדן מורכבת מ <math>J_{2}(\lambda)</math>,<math>J_{1}(\lambda)</math>
+'''נניח שהאינדקס 3'''
-'''אם ל<math>f_{A}(x)</math> שלושה שורשים שונים, כלומר שלושה ע"ע שונים.'''
+נקבל שיש רק בלוק אחד מסדר 3
-אז לפי משפט, שתי המטריצות לכסינות ודומות למטריצה מהצורה:
+בסופו של דבר הראנו שהפולינום האופייני והמינימלי מגדירים באופן יחיד את צורת הג'ורדן  ולכן נניח יש ל-A ול-B אתו פוינום אופיינו ומינימלי נקבל:
-<math>\begin{pmatrix}
+<math>B\sim J_{B}=J_{A}\sim A</math>
-\lambda _{1} &  0& 0\\
-&  \lambda _{2}&0 \\
-&0  & \lambda _{3}
-\end{pmatrix}</math>
-ולכן דומות בניהן.
+ומטרנזיטיביות של דמיון מטריצות<math>A \sim B</math>
+נניח שיש 2 שורשים שונים <math>\lambda_{1},\lambda_{2}</math> כלומר 2 ערכים עצמיים שונים נניח בלי הגבלת הכלליות :
-'''אם ל<math>f_{A}(x)</math> שורש אחד, כלומר ע"ע אחד'''
+<math>f_{A}\left(x\right)=\left(x-\lambda_{2}\right)^{2}\left(x-\lambda_{1}\right)</math>
-אז <math>A-\lambda I, B-\lambda I</math> (כאשר למדא הוא הע"ע) הן מטריצות נילפוטנטיות שגם עבורן מתקיים:
+נבדוק כל אחד מהאפשרויות עבור האינדקס של<math>\lambda_{2}</math>
-<math>f_{A-\lambda I}(x)=(x-\lambda)^{3}=f_{B-\lambda I}(x)</math>
+'''נניח שהוא 1'''
-<math>m_{A-\lambda I}(x)=m_{B-\lambda I}(x)</math>
+נקבל שכל בלוק הוא מסדר 1 (כי האינדקס קטן מהריבוי האלגברי והריבוי האלגברי של<math>\lambda_{1}</math> הוא 1)
+ולכן יש צורת ג'ורדן יחידה אלכסונית
-לכן מספיק להראות שעבור כל פ"מ שנבחר יש צורת ג'ורדן אפשרית יחידה ששתי המטריצות יהיו דומות לה:
+'''נניח שהוא 2'''
-ניעזר בעובדה שהדרגה של הפ"מ, היא אינדקס הנילפוטנטיות של המטריצה, שהוא הגודל של הבלוק הגדול ביותר בצורת הג'ורדן.
+נקבל שקיים בלוק מסדר 2 וזה חייב להיות <math>\lambda_{2}</math> ולכן עוד פעם צורת ג'ורדן מוגדרת באופן יחיד ע"י הפולינים: האופייני והמינימלי ולכן מאותו נימוק כמו קודם:
+<math>B\sim J_{B}=J_{A}\sim A</math>
-אם <math>deg(m_{A-\lambda I}(x))=1</math> אז גודל הבלוק הגדול ביותר הינו 1 ולכן:
+ומטרנזיטיביות של דמיון מטריצות <math>A \sim B</math>
-<math>J_{A-\lambda I}=J_{1}(0)\oplus J_{1}(0)\oplus J_{1}(0)=0=J_{B-\lambda I}</math>
-אם  <math>deg(m_{A-\lambda I}(x))=2</math> אז גודל הבלוק הגדול ביותר הינו 2 ונותר מקום רק לבלוק ג'ורדן מגודל 1 ולכן:
-<math>J_{A-\lambda I}=J_{2}(0)\oplus J_{1}(0)=\begin{pmatrix}
-& 1 & 0\\
-&  0& 0\\
-& 0 & 0
-\end{pmatrix}=J_{B-\lambda I}</math>
-אם <math>deg(m_{A-\lambda I}(x))=3</math> אז גודל הבלוק הגדול ביותר הינו 3 (והוא בעצם כל צורת הג'ורדן):
-<math>J_{A-\lambda I}=J_{3}(0)=\begin{pmatrix}
-& 1 & 0\\
-&  0& 1\\
-& 0 & 0
-\end{pmatrix}=J_{B-\lambda I}</math>
-בסה"כ הראנו שבכל מצב למטריצות  <math>A-\lambda I, B-\lambda I</math>  אותה צורת ג'ורדן ולכן הן דומות.
-מכאן, קיימת <math>P\in \mathbb{C}^{3x3}</math> הפיכה כך שמתקיים: <math>P^{-1}(A-\lambda I)P=B-\lambda I</math>
-<math> P^{-1}AP-\lambda P^{-1}IP=B-\lambda I</math>
-<math> P^{-1}AP-\lambda I=B-\lambda I</math>
-<math> P^{-1}AP=B</math>     ובסה"כ הראנו שהמטריצות A וB דומות.
-'''אם ל<math>f_{A}(x)</math> שני שורשים אז בהכרח מתקיים:'''
-<math>f_{A}(x)=(x-\lambda _{1})^{2}(x-\lambda _{2})</math>
-וגם, <math>m_{A}(x)=(x-\lambda _{1})^{2}(x-\lambda _{2})</math>
-או <math>m_{A}(x)=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})</math>
-נראה שוב, שלמטריצות אותה צורת ג'ורדן עבור שני המקרים הללו:
-'''מקרה 1:''' <math>m_{A}(x)=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})</math>
-צורת הג'ורדן של המטריצה הנ"ל הינה סכום ישר של צורות ג'ורדן של שתי המטריצות המקיימות את התנאים הבאים:
-<math>f_{A_{1}}(x)=(x-\lambda_{1} )^{2},
-m_{A_{1}}(x)=(x-\lambda_{1} )</math>
-מטריצה כזו הינה מהצורה: <math>\lambda _{1} I=\begin{pmatrix}
-\lambda _{1} & 0\\
-& \lambda _{1}
-\end{pmatrix}</math>
-והבלוק השני מגודל 1 הינו מהצורה <math>\begin{pmatrix}
-\lambda _{2}
-\end{pmatrix}</math>
-ובסה"כ צורת הג'ורדן של המטריצה הינה: <math>J_{A}=J_{B}=\begin{pmatrix}
-\lambda _{1} &  0& 0\\
-& \lambda _{1}  &0 \\
-&  0& \lambda _{2}
-\end{pmatrix}</math>
-הראנו שמדובר באותה צורת ג'ורדן ולכן המטריצות A וB דומות.
-'''מקרה 2:''' <math>m_{A}(x)=(x-\lambda _{1})^{2}(x-\lambda _{2})</math>
-במקרה זה הבלוקים הנוצרים (באופן זהה) הינם: <math>\begin{pmatrix}
-\lambda _{1} &  1\\
-& \lambda _{1}   \\
-\end{pmatrix}</math>
-ו- <math>\begin{pmatrix}
-\lambda _{2}
-\end{pmatrix}</math>
-ולכן צורת הג'ורדן של המטריצה הינה: <math>J_{A}=J_{B}=\begin{pmatrix}
-\lambda _{1} & 1 & 0\\
-& \lambda _{1}  & 0\\
-&  0& \lambda _{2}
-\end{pmatrix}</math>
-בסה"כ, במקרה זה לA וB אותה צורת ג'ורדן ולכן הן דומות.
-'''לסיכום, הראנו שבכל מצב אפשרי המטריצות A וB דומות ומכאן שהן דומות.
-מ.ש.ל.'''

הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4"

גרסה אחרונה מ־23:09, 8 בינואר 2012

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים