88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/פתרון מועד א
תוכן עניינים
1
שאלת הוכחה מההרצאה
2
חשבו את האינטגרלים הבאים:
א
פתרון:
נבצע הצבה אוניברסאלית לקבל
ב
נבצע אינטגרציה בחלקים לקבל
ג
ניתן לבצע את האלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית
או ההצבה באופן הבא:
3
א
קבעו האם האינטגרל הבא מתכנס או מתבדר:
פתרון:
כיון ש-
וכיון ש- מתבדר
שני האינטגרלים חברים ומתבדרים יחדיו.
ב
הוכיחו שאם פולינום שאינו שווה זהותית ל-
, אזי האינטגרל
מתבדר.
פתרון:
אם הפולינום אינו זהותית , האינטגרל הלא-מסוים שלו
בעל מעלה גדולה או שווה לאחד. ולכן
האחרון מתבדר כיון שהמעלה של גדולה או שווה ל-
.
4
מצאו את טור מקלורן של הפונקציה וקבעו את רדיוס ההתכנסות של הטור.
פתרון:
ראשית, נשים לב כי .
שנית, נזכר או נפתח את הטור
וביחד נקבל
קל לחשב רדיוס התכנסות של טור זה ולהראות שהוא אינסוף.
5
נגדיר סדרת פונקציות
א
קבעו אם הסדרה מתכנסת במ"ש בקטע
פתרון:
קל לראות שבקטע זה גבול הסדרה הוא הפונקציה ששווה זהותית , ולכן יש לחשב את הגבול:
נגזור על-מנת למצוא את המקסימום:
הנגזרת מתאפסת ב- , לכן המקסימום הוא בקצוות
,
ולכן
ולכן הסדרה מתכנסת במ"ש.
ב
קבעו אם הסדרה מתכנסת במ"ש בקטע
פתרון:
קל לראות כי פונקצית הגבול בנקודה היא
, לכל נקודה גדולה מ-
היא
ולכל נקודה קטנה מ-
היא
. לכן פונקצית הגבול אינה רציפה, ולכן ההתכנסות אינה במ"ש (שכן התכנסות במ"ש של פונקציות רציפות היא רציפה).
6 במבחן של אגרונובסקי
הוכח כי הפונקציה רציפה בכל הממשיים.
פתרון:
- לפי מבחן השוואה גבולי, קל לראות שכיון שהאינטגרל
מתכנס, כך גם האינטגרל
לכל אלפא.
- כמו כן קל לוודא כי הפונקציה
מונוטונית. (זה לבד מוכיח רציפות פרט למספר בן-מניה של נקודות...)
- תהי
נקודה מסוימת. נבחר
כך ש-
- כעת עבור
קטן מספיק,
כפי שרצינו...
6 במבחן של שיין והורוביץ
(לקוח ממערכי התרגול של אור שחף)
נתונה f פונקציה בעלת השתנות חסומה בקטע, ונתון שקיים כך ש-
לכל
. הוכיחו
בעלת השתנות חסומה בקטע.
פתרון
- מתקיים
ולכן