פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ו, מועד ב, שאלה 5

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &0 \\ 1 &2 & 0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 \\ 0 &0 &0 & 1 \end{pmatrix}$

מצאו את הפולינום האופייני והמינימלי של A. אם A לכסינה לכסנו אותה, ואם לא הוכיחו שאינה לכסינה.

הפולינום האופייני הוא $P_{A}(x)=(x-1)^{3}(x-2)$ (מטריצה משולשית).

בפולינום המינימלי חייבים להיות $(x-1)(x-2)$. מכיון שמתקיים $(A-I)(A-2I)=0$, נקבל כי $M_{A}(x)=(x-1)(x-2)$

כעת נוכיח כי $A$ נתנת ללכסון, ע"י שנוכיח כי צורת הג'ורדן שלה הינה אלכוסנית. ע"פ ההסעיפים הקודמים, הבלוק הגדול ביותר במטריצה הינו מגודל 1X1, ולכן צורת הג'ורדן שלה הינה ללא אחדות מעל האלכסון הראשי, וקבלנו כי צורת הג'ורדן שלה הינה אלכסונית.

האם הפתרון נחשב?