שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 12

תרגיל 10 שאלה 5

אני לא בטוח בשאלה הזאת כי אני לא מבין בדיוק מה הכוונה בכל שהפונקציה רציפה במידה שווה כי כשאומרים שהיא רציפה במ"ש גם "הקצוות" שלה כוללים את כל הסביבה או לא? כלומר האם היא תופסת את הסביב מימין ומשמאל??

רועי

יש הגדרה ברורה לרציפות במ"ש. לפי התרגיל, הפונקציה מקיימת את התנאים של רציפות במ"ש בקטע. יש להוכיח שהיא רציפה בקטע (בקצוות מספיק להראות שהיא רציפה מצד אחד, כלומר הגבול החד צדדי שלה שווה לערך שלה בקצה הקטע) --ארז שיינר 05:46, 25 בדצמבר 2010 (IST)

תרגיל 10 שאלה 1

אני חושב שיש טעות בתרגיל שכן,

בתרגיל מבקשים להוכיח או להפריך שהפונקציה קבועה.

אבל ברור שאפשר להגדיר פונקציה שנותנת כפלט ערך רציונלי כש x ב (a,b) ושנותנת כפלט ערך לא רציונלי

בכל שאר הישר.(וכך בעצם מתקבלת פונקציה לא קבועה שכן היא משתנה בשלושה מקומות בין הערך הרציונלי לערך האי רציונלי).

יכול להיות שהשאלה היא האם הפונקציה קבועה בתחום (a,b)?

הכוונה היא ב(a,b), הרי אנחנו לא יודעים כלום על הפונקציה מעבר לתחום הזה. --ארז שיינר 18:33, 24 בדצמבר 2010 (IST)

משפט

האם מותר להשתמש במשפט- $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}= 1$?

כן, כמו שרשום לעיל. --ארז שיינר 18:34, 24 בדצמבר 2010 (IST)

תרגיל 9 שאלה 6

נקודות אי הרציפות הן רק בתחום ההגדרה נכון? למשל בסעיף a, הנקודה x=0 יכולה להיות נקודת אי רציפות? גם אשמח לרמז לגבי איך אמורים למצוא נקודות אי רציפות, כי רוב הפונקציות שמה לא הצלחתי למצוא להן נקודות אי רציפות. ושאלה אחרונה- לא צריך להוכיח שלפונקציה אין עוד נקודות רציפות חוץ מאלה שמצאתי, נכון? תודה

תשובה

נקודת אי הגדרה, היא בפרט נקודת אי רציפות. יש למצוא את כל נקודות אי הרציפות, לכן יש להוכיח שהשאר רציפות.

בגדול משתמשים בעובדה שהרכבה וחלוקה של רציפות בנקודה היא רציפה בנקודה, אלא אם המכנה הוא אפס או הפונקציה אינה מוגדרת. --ארז שיינר 18:35, 24 בדצמבר 2010 (IST)

אז לכל אחת מהפונקציות בשאלה אני צריך גם להוכיח שלא קיימות עוד נקודות רציפות? זה לא קצת יותר מדי? בנוסף, אני לא חושב שאני יודע איך מוכיחים רציפות עבור אינסוף נקודות! ולגבי נקודות אי ההגדרה, אז אם פונקציה לא מוגדרת למשל כאשר x<0, אז כל נקודה x<0 היא גם נקודת אי רציפות?

הסברתי איך מוכיחים. חלוקה או הרכבה של רציפות. זה בדיוק משפט אחד (והרי ידוע על רוב הפונקציות הנתונות מתי הן רציפות ומתי הן מוגדרות). לרוב אנחנו לא נותנים שאלות עם אינסוף נקודות רציפות אבל ברור שפונקציה אינה רציפה בנקודות בהן אינה מוגדרת... --ארז שיינר 20:23, 24 בדצמבר 2010 (IST)

תרגיל 9- שאלה 2

הפתרונות אמורים להיות שורה אחת, או שלא הבנתי משהו?

תלוי מה השורה הזו. אפשר להשתמש בגבולות ידועים, במשפטי אריתמטיקה והרכבה וכדומה. --ארז שיינר 18:38, 24 בדצמבר 2010 (IST)

תרגיל 9 שאלה 3

מהי ההגדרה של הגבול של $f(2x)-f(x)$ כש-x שואף לאינסוף לפי קושי? ולפי היינה? והאם מותר להשתמש באריתמטיקה של גבולות?

מה זאת אומרת? זו בדיוק אותה הגדרה עבור פונקציה כללית $g(x)$ כאשר מגדירים $g(x)=f(2x)-f(x)$. מותר להשתמש באריתמטיקה אם אתה יודע את הגבולות של $f(x),f(2x)$ --ארז שיינר 21:05, 24 בדצמבר 2010 (IST)

תודה!

כולל אינסוף?

בכל הגבולות שמדובר עליהם בתרגילים האלו, האם זה כולל גבול של אינסוף ומינוס אינסוף?

הן בגבולות שאנחנו צריכים למצוא, והן בגבולות שנתון למשל שהגבול שווה ל-a.

כשצריך למצוא יוצא מה שיוצא. אם זה מתכנס במובן הרחב לאינסוף יש להראות את זה. גבול בנקודה a הוא גבול בנקודה ממשית ולא באינסוף. --ארז שיינר 21:47, 24 בדצמבר 2010 (IST)

תרגיל 9 שאלה 4

מה זה אומר: "פונקציה ממשית"? היא יכולה לשאןף לאינסוף כש-x שואף לאינסוף?

פונקציה ממשית היא למעשה הפונקציה העיקרית שאנו מדברים עליה. פונקציה $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$. בוודאי שהיא יכולה לשאוף לאינסוף, את כל הגבולות של פונקציות הגדרה בכלל על פונקציות ממשיות. --ארז שיינר 16:21, 25 בדצמבר 2010 (IST)

תרגיל 9 שאלה 5

הגעתי לזה שלכל $\mu>0$ קיים $\epsilon>0$ כך ש-$0<|f(x)-a|<\epsilon$ גורר $|g(f(x))-g(a)|<\mu$,

וגם לזה שלכל $\epsilon>0$ קיים $\delta>0$ כך ש-$0<|x-x_0|<\delta$ גורר $|f(x)-a|<\epsilon$.

אז בעצם לכל $\mu>0$ קיימים $\delta,\epsilon>0$ כך ש-$0<|x-x_0|<\delta$ גורר $|f(x)-a|<\epsilon$ וכל מה שאני צריכה זה להשתמש בזה ש-$0<|f(x)-a|<\epsilon$ גורר $|g(f(x))-g(a)|<\mu$, ומ.ש.ל,

אבל $|f(x)-a|<\epsilon$ ולא בהכרח $0<|f(x)-a|<\epsilon$. אז מה עושים??

עזרה? תודה מראש!

עלה לי רעיון להפריד למקרים, ונראה לי שזה עובד. אז לא משנה.

האם זה מותר?

אני לא מצליחה לנסח מתמטית את החוק, אז אתן דוגמה: האם $limxsin(1/x)=lim(siny/y)$, כש- $y=1/x$, בגבול הראשון x שואף לאינסוף, ובגבול השני y שואף ל-0?

כלומר האם מותר להציב y שיהיה תלוי ב-x ולראות לאן הוא שואף...

ואם כן, אז מהו החוק בניסוח מתמטי?

מה הבעיה לכתוב ככה? xsin1/x = (sin1/x)/(1/x)h כאן זה ש-x שואף לאינסוף.. אבל הגבול של זה.. שווה לגבול של sinx/x כאשר x שואף ל-0, כי הרי אחד חלקי איקס שואף ל-0... אני לא חושבת שזה ממש חוק.... זה פשוט לשנות את הביטוי למשהו שאת יודעת לעבוד איתו..

כן, תודה, זה מה שגם אני חושבת, אבל לא הוכחנו שזה מותר, והרי צריך להוכיח כל דבר (אם הוכחנו אפילו ש-$0*a=0$, אז..). אשמח לתשובת מתרגל/ת.

(לא מתרגל)מותר לבצע הצבות בחישוב הגבול באופן הנ"ל על פי משפט שהוכחנו: גבול של פונקציה מורכבת. -לידור.א.- 19:52, 25 בדצמבר 2010 (IST)

צמצום פונקציה

האם צריך לנמק שהגבול של $(x^2-4)/(x-2)$ שווה לזה של $x+2$? (זו סתם דוגמה במקום שאלה כללית) ואיך מנמקים?

בדיוק איך שהגעת לזה שזה שווה לגבול של x+2... הרי x^2-4 = (x-2)(x+2( j ואז אתה פשוט מצמצם...... ובעצם יוצא שזה שווה ל- x+2

לא הבנתי מה השאלה..

התכוונתי, האם צריך לנמק שהגבול של הפונקציה אחרי צמצום שווה לגבול המקורי. הרי עבור $f(x)=(x^2-4)/(x-2)$, $g(x)=x+2$, טעות להגיד ש-$f(x)=g(x)$.

נקודות אי רציפות

נאבד לי הדף עם המיון, האם זה:

1. סוג ראשון: קיים גבול מימין ומשמאל אבל הם שונים

2. סוג שני: לפחות גבול חד צדדי אחד - לא קיים

3. נקודת סליקה: הפונקציה לא מוגדרת בנקודה זו

אם כך, נקודה אחת יכולה להיות מכמה סוגים?

סליקה: הגבולות החד צדדים שווים אבל הנקודה לא מוגדרת או פשוט הערך של הפונקציה בנקודה שונה מהגבול בנקודה, זה שהפונקציה לא מוגדרת בנקודה לא הופך אותה לסליקה... יכול להיות נקודה ממין ראשון או שני שהפונקציה לא מוגדרת בנקודה..... ולא, לא יכול להיות שהגבולות החד צדדים בנקודה מסויימת גם שווים גם שונים וגם שאחד מהם או שניהם לא קיימים.... (אני לא בטוחה ב-100% במה שאני אומרת, אבל ככה ניראה לי בכל אופן)

תודה!!

תשובה

1. סליקה - הגבול קיים וסופי בנקודה אבל שונה מערך הפונקציה בנקודה (או שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה)
2. מין ראשון - הגבולות החד צדיים קיימים, סופיים ושונים בנקודה
3. מין שני - כל אופציה אחרת

סתם מתוך סקרנות, למה לא חיפשת בוויקיפדיה?

שאלה טובה. כנראה כי יצאתי מתוך נקודת הנחה שאני זוכרת את ההגדרות (גם מישהו שדיברתי איתו אמר לי אותו הדבר), אז לא הרגשתי צורך לחפש. אולי מישהו מהפקולטה לפסיכולוגיה ידע להסביר טוב יותר :]

תרגיל 9- שאלה 3

L ממשי?

ראה קישור: [[1]]

לא ענית לי על השאלה. שם ענו על:גבולות שצריך למצוא, גבול בנק' ממשית. אבל לא על גבול כמו ב3.

ציטוט משם: "גבול בנקודה a הוא גבול בנקודה ממשית ולא באינסוף." (תחליף את a ב-L)

בתרגיל 3, L הגבול, לא הנק'.

אוקיי אז מסתבר שארז לא ענה לי על השאלה ששאלתי שם, טוב שהפנת את תשומת ליבי. אז אני מצטרפת לשאלה שלך!

L ממשי. --ארז שיינר 19:58, 25 בדצמבר 2010 (IST)

תרגיל 9 שאלה 2 סעיף ג

אני לא מצליחה אותו, אפשר אולי רמז, כיוון, משהו?

גבולות ידועים שהוזכרו פה בפורום כמה פעמים (אפשר להסתכל בארכיון האחרון. --ארז שיינר 19:59, 25 בדצמבר 2010 (IST)

תודה! מוזר שזה גבול ידוע, לי הוא לא היה ידוע.

רגע, זה מותר בכלל לכתוב: $lim((f(x))/sinx)=lim(f(x))/lim(sinx)=lim(f(x))/lim(x)=lim((f(x))/x)$??

לא. אם המכנה שואף לאפס אי אפשר להפעיל אריתמטיקה של גבולות. --ארז שיינר 23:47, 25 בדצמבר 2010 (IST)

שאלה בקשר לנקודות אי רציפות וגבולות חד צדדיים

אם אחד מהגבולות החד צדדיים הוא אינסוף, זה נחשב שהוא קיים או לא? לדוגמה אם יש פונקציה עם נקודה שבה אחד מהגבולות החד צדדים ממשי והשני אינסוף (אסימפטוטה), אז זה נחשב נקודת אי רציפות מהסוג הראשון (הגבול קיים) או מהשני (לא קיים)? ואם יש פונקציה שבה משני הצדדים הגבולות החד צדדיים שואפים לאינסוף (החיובי), זה נחשב סליקה כי הגבולות החד צדדיים קיימים או סוג שני? תודה!!

לדעתי, ויכול להיות שאני טועה, הדבר הראשון שאמרת הוא סוג ראשון (אינסוף=קיים), והדבר השני שאמרת הוא סליקה (שוב, אינסוף=קיים).

אהמ.. ניראה לי דוקא שאם גבול חד צצדי הוא אינסוף זה נחשב שהוא לא קיים.... כי הוא לא ממשי. ואם יש גבול חד צצדי1 ממשי והשני אינסוף זה נקודת אי רציפות מהמין השני... וגם אם 2 הגבולות החד צדדים הם אינסוף זה נקודות אי רציפות מהמין השני... אני לא בטוחה במליון אחוז אבל ב-99 אני כן :)

ראו למעלה הגדרה - סליקה ומין ראשון זה רק כאשר קיים וסופי. אם יש צד אחד בו הפונקציה שואפת לאינסוף אז זה מין שני. --ארז שיינר 20:01, 25 בדצמבר 2010 (IST)

תודה.

שאלה כללית

אם פונקציה קבועה באינסוף נקודות וגם לא מוגדרת באינסוף נקודות. הגבול שלה הוא הקבוע?

תלוי הגבול איפה.

באינסוף.

(לא מתרגלת) מה הפונקציה? תלוי בפונקציה, אם $f(x)=a$ לכל $x>0$ ולא מוגדר אחרת, אז באינסוף הגבול הוא a. ואם זה לכל $x<0$, אז באינסוף הגבול לא מוגדר.

נניח שעבור x זוגי ֿ מוגדר ועבור אי זוגי לא.

מה ז"א זוגי, זאת פונקציה, הערכים בתחום לא בהכרח שלמים. ועבור סדרה כזו - הגבול לא קיים.

תשובה

על מנת לדבר בכלל על גבול, דורשים שהפונקציה תהיה מוגדרת. בגבול בנקודה דורשים שהפונקציה תהיה מוגדרת בסביבה מנוקבת, בגבול באינסוף דורשים שהפונקציה תהיה מוגדרת החל מM מסויים. --ארז שיינר 20:02, 25 בדצמבר 2010 (IST)

ואם היא לא מוגדרת ומדברים על גבול בכל זאת? אז הוא לא מוגדר (לא קיים) - לא?

אז הגדרת הגבול לא מתקיימת = לא קיים

תרגיל 9 שאלה 2 סעיף b

ההוכחה הבאה תקינה $lim_{x->-\infty}x(x-\sqrt{x^2-\pi^3})=-\infty(-\infty-\sqrt{\infty^2-\pi^3})=-\infty(-\infty-\infty)=(-\infty)^2=\infty$?

כן, זה בסדר.

תרגיל 10 שאלה 6. C.

אורך הקטע הוא b-a נחלק במספר הקטעים נגיד k ואז אורך כל קטע הוא b-a\k שזה קטן מדלתא. אם נבטא את חלקי הקטע באמצעות קצוותיו אז X1 וX2 יהיו קצות הקטע וx1-x2 (בערך מוחלט) קטן מדלתא. לכן fx1-fx2 (בערך מוחלט) קטן מ-1 שזה בודאי קטן מ-k. אבל זה נכון רק לנקודות שהן קצוות של חלק מהקטע כאשר חולק באופן שווה, איך ניתן להוכיח לכל x1 x2 , האם בכלל זה הכיוון?

ראשית $x_1,x_2$ לא חייבים להיות בקצוות, התנאי בסעיף הקודם אומר שהמרחק בינהם צריך להיות קטן מדלתא, לא שווה לדלתא. שנית, אם המרחק בינהם קטן מפעמיים דלתא, מה אפשר לומר על המרחק בין $f(x_1),f(x_2)$? --ארז שיינר 23:45, 25 בדצמבר 2010 (IST)

(תלמיד אחר) אני כנראה מפספס משהו, אבל אני חושב שאם המרחק בין הנקודות קטן מפעמיים דלתא זה עדיין לא אומר כלום על המרחק בין ערכי הפונקציה, כי פעמיים דלתא גדול מדלתא, ואנחנו יודעים להגיד משהו על ערכי הפונקציה רק אם המרחק בין הנקודות קטן מדלתא.

תרגיל 10 שאלה7 (c)

היי רציתי לדעת האם ה-2 הוא בטוח מחוץ לסגריים או שזאת טעות וזה צריך להיות (2dx-1) בריבוע?

זה היה צריך להיות בפנים, אבל תענו על זה כמו שזה... --ארז שיינר 09:39, 27 בדצמבר 2010 (IST)

ערעור על ש"ב

בתרגיל 3, שאלה 5, סעיף ה' (הוכח או הפרך: אם $\lim_{n\to\infty}a_n=0$ אזי $b_n=\left|\frac 1{a_n}\right|$ מתכנסת במובן הרחב לאינסוף.) הפרכתי את הטענה ע"י בחירת $a_n=0$ לכל $n\in\mathbb N$ (לכן $b_n$ אינה מוגדרת ולפיכך אין לה גבול). הבודק הוריד לי על זה ציון וכתב אחרי הערעור "הטענה הזו נכונה, ולא מופרכת כפי שציינת." עם זאת, בפתרון באתר הוכחתם את הטענה כאשר מניחים ש-$a_n\ne0$ החל מ-n מסויים והפרכתם ללא ההנחה הזו, שאכן לא צויינה בשאלה המקורית. האם יש מקום לערעור שני? תודה

כן, תשלח לי במייל האישי כמה הוא הוריד לך, ואני אדאג שהוא יעלה את הניקוד. --ארז שיינר 18:10, 27 בדצמבר 2010 (IST)

(מישהי אחרת) אפשר לשלוח לך מייל גם אם אתה לא מתרגל אותי בקורס הזה? ומה המייל?

תלוי מה יש במייל (: אני erez_sh בהוטמייל נקודה קום.

ערעור על אותו הדבר בדיוק. (פניתי למתרגל שלי, והוא אישר העלאה של 5 נקודות, אבל אמר שאני צריכה לפנות אליו שוב כשיביא את הקלסר עם הציונים או משהו כזה.. אז אני מעדיפה לדאוג לזה עכשיו)

תרגיל 11

שלום רב, מתי יעלה תרגיל 11? תודה מראש!