הבדלים בין גרסאות בדף "88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/פתרון מועד א"

גרסה מ־05:50, 20 ביולי 2012

תוכן עניינים

1 1
2 2
- 2.1 א
- 2.2 ב
- 2.3 ג
3 3
- 3.1 א
- 3.2 ב
4 4
5 5
- 5.1 א
- 5.2 ב
6 6 במבחן של הורוביץ
7 6 במבחן של שיין
- 7.1 פתרון

1

שאלת הוכחה מההרצאה

2

חשבו את האינטגרלים הבאים:

א

$\int\frac{dx}{sin(x)}$

פתרון:

נבצע הצבה אוניברסאלית $t=tan(\frac{x}{2})$ לקבל

$\int\frac{1+t^2}{2t}\frac{2}{1+t^2}dt=ln|t|+c$

ב

$\int\frac{xdx}{cos^2(x)}$

נבצע אינטגרציה בחלקים לקבל

$\int\frac{xdx}{cos^2(x)}=xtan(x)-\int tan(x) = xtan(x)+ln|cos(x)|+c$

ג

$\int\frac{t^7}{1+2t^4+t^8}dt$

ניתן לבצע את האלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

או ההצבה $x=t^4$ באופן הבא:

$\int \frac{t^7}{1+2t^4+t^8}dt=\int\frac{x}{4(1+2x+x^2)}dx=\frac{1}{4}\int\frac{2x+2-2}{(1+x)^2}dx=\frac{1}{4}ln[(1+x)]+\frac{1}{4}\frac{1}{1+x}+c$

3

א

קבעו האם האינטגרל הבא מתכנס או מתבדר:

$\int_0^\infty\frac{arctan(x)}{x}dx$

פתרון: כיוון ש $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{arctanx}{x}}{\frac{1}{x}}=\frac{\pi}{2}$

וכיוון ש $\int_1^\infty\frac{1}{x}dx$ מתבדר

שני האינטגרלים חברים ומתבדרים יחדיו.

ב

הוכיחו שאם $p(x)$ פולינום שאינו שווה זהותית לאפס, אזי האינטגרל $\int_1^\infty p(x)dx$ מתבדר.

פתרון:

אם הפולינום אינו זהותית אפס, האינטגרל הלא מסויים שלו $q(x)=\int p(x)dx$ בעל מעלה גדולה או שווה לאחד. ולכן

$\int_1^\infty p(x)dx=\lim_{b\rightarrow\infty}\int_1^b p(x)dx=\lim_{b\rightarrow\infty}[q(b)-q(1)]=\infty$

האחרון מתבדר כיוון שהמעלה של q גדולה או שווה לאחד.

4

מצאו את טור מקלורין של הפונקציה $f(x)=cos^2(x)$ וקבעו את רדיוס ההתכנסות של הטור.

פתרון:

ראשית, נשים לב כי $cos^2(x)= \frac{cos(2x)-1}{2}$ .

שנית, נזכר או נפתח את הטור $\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$

וביחד נקבל

$cos^2(x)=\frac{1}{2}[\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} (2x)^{2n} - 1]= \frac{1}{2}[\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n 4^n}{(2n)!} x^{2n} - 1]$

קל לחשב רדיוס התכנסות של טור זה ולהראות שהוא אינסוף.

5

נגדיר סדרת פונקציות $f_n(x)=\frac{x^n}{1+x^n}$

א

קבעו אם הסדרה מתכנסת במ"ש בקטע $[0,\frac{1}{2}]$

פתרון:

קל לראות שבקטע זה גבול הסדרה הוא הפונקציה ששווה זהותית אפס, ולכן יש לחשב את הגבול:

$\lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\sup_{x\in [0,\frac{1}{2}]}|\frac{x^n}{1+x^n}|\Big]$

נגזור על מנת למצוא את המקסימום:

$\Big(\frac{x^n}{1+x^n}\Big)' = \frac{nx^{n-1}(1+x^n) - nx^{n-1}\cdot x^n}{(1+x^n)^2}=\frac{nx^{n-1}}{(1+x^n)^2}$

הנגזרת מתאפסת באפס, לכן המקסימום הוא בקצוות

$f_n(0)=0$ ,

$f_n(\frac{1}{2})=\frac{1}{2^n+1}$

ולכן

$\lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\sup_{x\in [0,\frac{1}{2}]}|\frac{x^n}{1+x^n}|\Big]= \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2^n+1}=0$

ולכן הסדרה מתכנסת במ"ש.

ב

קבעו אם הסדרה מתכנסת במ"ש בקטע $[\frac{1}{2},\frac{3}{2}]$

פתרון:

קל לראות כי פונקצית הגבול בנקודה 1 היא חצי, לכל נקודה גדולה מ1 היא 1 ולכל נקודה קטנה מאחד היא אפס. לכן פונקצית הגבול אינה רציפה, ולכן ההתכנסות אינה במ"ש (שכן התכנסות במ"ש של פונקציות רציפות היא רציפה).

6 במבחן של הורוביץ

הוכח כי הפונקציה $F(\alpha)=\int_1^\infty x^\alpha e^{-x}dx$ רציפה בכל הממשיים

פתרון:

6 במבחן של שיין

(לקוח ממערכי התרגול של אור שחף) נתון שקיים $\varepsilon>0$ כך ש- $f(x)\ge\varepsilon$ לכל $x\in[a,b]$ . הוכיחו $\frac1f$ בעלת השתנות חסומה בקטע.

פתרון

מתקיים $\forall x\in[a,b]:\ \frac1{f(x)}\le\frac1\varepsilon$ ולכן
$\begin{align}v(1/f,P)&=\sum_{k=1}^n\left|\frac1{f(x_k)}-\frac1{f(x_{k-1})}\right|\\&=\sum_{k=1}^n\left|\frac{f(x_{k-1})-f(x_k)}{f(x_k)f(x_{k-1})}\right|\\&\le\frac1{\varepsilon^2}\sum_{k=1}^n|f(x_k)-f(x_{k-1})|\\&\le\frac1{\varepsilon^2}\overset b\underset aV f\\&<\infty\end{align}$
$\blacksquare$

@@ שורה 129: / שורה 129: @@
-==6==
+==6 במבחן של הורוביץ==
 הוכח כי הפונקציה <math>F(\alpha)=\int_1^\infty x^\alpha e^{-x}dx</math> רציפה בכל הממשיים
 '''פתרון''':
+==6 במבחן של שיין==
+(לקוח ממערכי התרגול של אור שחף)
+נתון שקיים <math>\varepsilon>0</math> כך ש-<math>f(x)\ge\varepsilon</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. הוכיחו <math>\frac1f</math> בעלת השתנות חסומה בקטע.
+===פתרון===
+# מתקיים <math>\forall x\in[a,b]:\ \frac1{f(x)}\le\frac1\varepsilon</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}v(1/f,P)&=\sum_{k=1}^n\left|\frac1{f(x_k)}-\frac1{f(x_{k-1})}\right|\\&=\sum_{k=1}^n\left|\frac{f(x_{k-1})-f(x_k)}{f(x_k)f(x_{k-1})}\right|\\&\le\frac1{\varepsilon^2}\sum_{k=1}^n|f(x_k)-f(x_{k-1})|\\&\le\frac1{\varepsilon^2}\overset b\underset aV f\\&<\infty\end{align}</math>}}{{משל}}

הבדלים בין גרסאות בדף "88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/פתרון מועד א"

גרסה מ־05:50, 20 ביולי 2012

תוכן עניינים

1

2

א

ב

ג

3

א

ב

4

5

א

ב

6 במבחן של הורוביץ

6 במבחן של שיין

פתרון

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים