הבדלים בין גרסאות בדף "88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד הוכחות למשפטים למבחן"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏משפט)
 
(14 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
 +
[[88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד]]
 +
 
==משפט קנטור על רציפות במ"ש==
 
==משפט קנטור על רציפות במ"ש==
 
===המשפט===
 
===המשפט===
שורה 17: שורה 19:
  
 
==היחס בין הדיפרנציאל לנגזרות החלקיות==
 
==היחס בין הדיפרנציאל לנגזרות החלקיות==
−
הערה: יש 2 משפטים שאני לא בטוח לאיזה אחד מהם הוא מתכוון, וצריך לשאול אותו. (שניהם בהרצאה 7)
+
צריך לדעת את 3 הדברים שבחלק זה (המשפטים בהרצאה 7 והדוגמה לקוחה מהתרגול)
  
 
===משפט 1===
 
===משפט 1===
שורה 59: שורה 61:
  
 
ובאופן דומה לנגזרת החלקית לפי y
 
ובאופן דומה לנגזרת החלקית לפי y
 +
 +
==מהגדרה של דיפרנציאל מסדר r לנוסחה עם נגזרות חלקיות==
 +
===הגדרה===
 +
תהי <math>f \in C^r(U)</math> כך ש- U קבוצה פתוחה ומוכלת ב- <math>\mathbb{R}^n</math>.
 +
 +
יהי <math>h \in \mathbb{R}^n</math>. נגדיר <math>\varphi(t)=f(a+th)</math>, אז מתקיים ש- <math>\varphi</math> גזירה r פעמים ב-0.
 +
 +
לכן ניתן להגדיר: <math>d^rf_a(h):=\varphi^{(r)}(0)</math>
 +
 +
===משפט===
 +
<math>d^rf_a(h)=\sum_{|\alpha| =r} \frac{r!}{\alpha!}D^{\alpha}f(a)\cdot h^\alpha</math>
 +
 +
(הרצאה 12)
 +
 +
כך ש-
 +
 +
<math>\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)</math> מולטי אינדקס
 +
 +
<math>|\alpha|=\sum_{i=1}^n |\alpha_i|</math>
 +
 +
<math>\alpha! = \alpha_1!\cdot ... \cdot \alpha_n!</math>
 +
 +
<math>h^\alpha = h_1^{\alpha_1}\cdot ... \cdot h_n^{\alpha_n}</math>
 +
 +
<math>D^\alpha f = \frac{\partial^{|\alpha|} f} {\partial x_1^{\alpha_1} ... \partial x_n^{\alpha_n} }</math>
 +
 +
===הוכחה===
 +
[[מדיה:ProofTheorem3AdvancedCalc2014.docx | להורדת ההוכחה]]
  
 
==תנאי מספיק לדיפרנציאביליות לפי רציפות נגזרות חלקיות==
 
==תנאי מספיק לדיפרנציאביליות לפי רציפות נגזרות חלקיות==
 +
===המשפט===
 +
תהי <math>f:\Omega \to \mathbb{R}^m</math> ותהי נקודה <math>a\in \operatorname{int} \Omega</math>
 +
 +
נניח ש-
 +
 +
1. עבור דלתא מספר קטן קיימות <math>\forall_{1\leq i \leq n}\forall x \in B(a,\delta):\frac{\partial f}{\partial x_i} (x)</math>
 +
 +
2. כל הנגזרות החלקיות רציפות בכדור הזה.
 +
 +
אזי f דיפ' ב-a. (הרצאה 9)
 +
 +
==תנאי מספיק לקיצון מקומי עפ"י הדיפרנציאל השני==
 +
===המשפט===
 +
תהי <math>f:U\to \mathbb{R}</math> כך ש-U קבוצה פתוחה שמוכלת ב- <math>\mathbb{R}^n</math> ו- <math>f\in C^2(U)</math>.
 +
 +
תהי <math>a \in U</math> נק' קריטית של f (כלומר <math>\nabla f(a)=0</math>) אזי:
 +
 +
1. אם <math>d^2f_a>0</math> אז a מינימום מקומית ממש
 +
 +
2. אם <math>d^2f_a<0</math> אז a מקסימום מקומית ממש
 +
 +
3. אם <math>d^2f_a</math> לא שומרת סימן אז a לא קיצון.
 +
 +
(הרצאה 15)
 +
 +
==משפט פונקציה סתומה - משוואה אחת==
 +
 +
===משפט===
 +
תהי <math>W \subseteq \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}</math> קבוצה פתוחה ותהי <math>F:W\to \mathbb R</math> כך ש- <math>F \in C^r (W)</math>
 +
 +
נתונה הנקודה <math>(a,b)</math> כך ש-
 +
 +
1. <math>F(a,b)=0</math>
 +
 +
2. <math>\frac{\partial f}{\partial y} (a,b)\neq 0</math> (כאשר y זה המשתנה ה- n+1)
 +
 +
אזי קיימות סביבות <math>a \in U , b \in V</math> כך ש- <math>\forall_{x \in U} \exists!_{y \in V} : F(x,y)=0</math>.
 +
 +
כלומר קיימת פונקציה <math>\varphi:U\to V</math> כך ש- <math>F(x,\varphi(x))=0</math>. בנוסף <math>\varphi \in C^r(U)</math>
 +
 +
(הרצאה 16)
 +
 +
==משפט פונקציה סתומה - מקרה כללי==
 +
===משפט===
 +
 +
==תנאי הכרחי לקיצון עם אילוצים==
 +
===משפט===
 +
 +
==קריטריון רימן לאינטגרביליות==
 +
===משפט===
 +
תהי <math>f:P\to \mathbb{R}</math> כך ש- <math>\exists C \forall x \in P: ||f(x)||\leq C</math>, אזי <math>f \in \mathcal{R}(P)</math> (אינטגרבילית לפי רימן) אם ורק אם
 +
 +
<math>\forall \epsilon>0 \exists \mathcal{P} : 0\leq \bar{S}(f,\mathcal{P})-\underline{S}(f,\mathcal{P}) < \epsilon</math>
 +
 +
כלומר לכל אפסילון קיימת חלוקה כך שההפרש בין הסכומים העליוניים לתחתוניים קטן מאפסילון.
 +
 +
(הרצאה 21)
 +
 +
===הוכחה===
 +
'''משמאל לימין:'''
 +
 +
יהי <math>\epsilon>0</math> אזי קיימת חלוקה <math>\mathcal{P}</math> כך ש- <math> 0\leq \bar{S}(f,\mathcal{P})-\underline{S}(f,\mathcal{P})< \epsilon</math>. כלומר <math> 0\leq \bar{S}(f,\mathcal{P})<\underline{S}(f,\mathcal{P})+ \epsilon</math> ומכאן ש- <math>\bar{I}(f)=\operatorname{inf}_{\mathcal Q} \bar{S}(f, \mathcal Q) < \underline{S}(f,\mathcal{P})+ \epsilon</math>
 +
 +
אז <math>\bar{I}(f)-\epsilon<\underline{S}(f,\mathcal{P})\leq \operatorname{sup}_{\mathcal Q} \underline{S}(f,\mathcal{Q}) = \underline{I}(f)</math> ולכן <math>\overline{I}(f)-\underline{I}(f)<\epsilon</math> לכל אפסילון גדול מ-0. לכן <math>\overline{I}(f)-\underline{I}(f)=0</math> ואז <math>\overline{I}(f)=\underline{I}(f)</math>. אז <math>f \in \mathcal{R} (P)</math>
 +
 +
'''מימין לשמאל:'''
 +
 +
נניח <math>f \in \mathcal{R} (P)</math> אז <math>\overline{I}(f)=\operatorname{inf}_{\mathcal Q} \bar{S}(f, \mathcal Q)=\operatorname{sup}_{\mathcal Q} \underline{S}(f,\mathcal{Q}) =\underline{I}(f)=I(f)</math>
 +
 +
יהי אפסילון גדול מ-0
 +
 +
אז
 +
 +
<math>\exists \mathcal Q : I(f)-\frac\epsilon2 < \underline{S}(f,\mathcal{Q})\leq  I(f)</math>
 +
 +
<math>\exists \mathcal P : I(f)+\frac\epsilon2 > \bar S(f,\mathcal{P})\geq  I(f)</math>
 +
 +
לכן קיימות חלוקות <math>\mathcal {P , Q}</math> כך ש-
 +
 +
<math>I(f)-\frac\epsilon2 < \underline{S}(f,\mathcal{Q}) \leq \bar S(f,\mathcal{P}) < I(f)+\frac\epsilon2 </math>
 +
 +
נגדיר <math>\mathcal T := \mathcal P \cap \mathcal Q</math> (לא מצאתי דרך לבטא את החיתוך עם העיגול מעל. זה הכוונה פה)
 +
 +
<math>I(f)-\frac\epsilon2 < \underline{S}(f,\mathcal{Q})\leq\underline{S}(f,\mathcal{T})\leq \bar S(f,\mathcal{T})\leq \bar S(f,\mathcal{P}) < I(f)+\frac\epsilon2</math>
 +
 +
<math>\bar S(f,\mathcal{T}) -\underline{S}(f,\mathcal{T}) < I(f)+\frac\epsilon2-(I(f)-\frac\epsilon2)=\epsilon </math>
 +
 +
משל

גרסה אחרונה מ־18:36, 1 בפברואר 2014

88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד

משפט קנטור על רציפות במ"ש

המשפט

תהי f:K \to \mathbb{R}^m כך ש- K \subseteq \mathbb{R}^n קבוצה קומפקטית ו-f רציפה ב- K, אזי f רציפה במ"ש ב-K. (הרצאה 6)

הוכחה

נניח בשלילה ש-f לא רבמ"ש ב-K. אז מתקיים ש-

\exists \epsilon>0 \forall \delta>0 \exists x',x'' : ||x'-x''||<\delta \land |||f(x')-f(x'')|||\geq \epsilon.

זה מתקיים לכל דלתא, אז נגדיר סדרה של דלתות באופן הבא: \delta_k=\frac1k, ולכל \delta_k נסמן את x',x'' בהתאם: x'_k,x''_k.

לכן לכל k מתקיים: ||x'_k-x''_k||<\frac1k, |||f(x'_k)-f(x''_k)|||\geq\epsilon>0

כיוון שכל הנקודות x'_k ב-K, שהיא קבוצה קומפקטית, מתקיימת למת בולצאנו ווירשטראס. כלומר קיימת תת סדרה \left\{ x_{k_i} \right\}_{i=1}^\infty \to x_0 שמתכנסת לנקודה x_0 שגם היא ב-K (כיוון ש-K סגורה).

נשים לב ש- x''_{k_i}=x'_{k_i}+(x''_{k_i}-x'_{k_i}) \to x_0 + 0 = x_0. מתוך הנתון ש- f רציפה ב- x_0 נקבל ש- f(x'_{k_i}) \to f(x_0) , f(x''_{k_i}) \to f(x_0) אך אם כך, \lim_{i\to\infty} (f(x'_{k_i})-f(x''_{k_i}))=f(x_0)-f(x_0)=0 בסתירה לכך שקיים אפסילון כך ש- |||f(x')-f(x'')|||\geq \epsilon. משל

היחס בין הדיפרנציאל לנגזרות החלקיות

צריך לדעת את 3 הדברים שבחלק זה (המשפטים בהרצאה 7 והדוגמה לקוחה מהתרגול)

משפט 1

תהי f:\Omega\to\mathbb{R}^m כך ש- \Omega \subseteq \mathbb{R}^n ותהי a \in \operatorname{int} \Omega כך ש- f דיפ' ב-a. אזי לכל 1\leq j \leq n קיימת נגזרת חלקית \frac{\partial f}{\partial x_j} (a) והיא שווה ל- df_a (e_j)

(הערה: משפט זה הוא מקרה פרטי למשפט שהוכחנו בהמשך באופן דומה. המשפט אומר ש- \partial_h f (a)=df_a (h) כך ש- \partial_h f(a) := \lim_{t\to 0} \frac{f(a+th)-f(a)}{t} זוהי הנגזרת הכיוונית לפי וקטור h.)

הוכחה 1

f(a+h)=f(a)+df_a(h)+\epsilon(h)||h|| כך ש- \lim_{h\to 0}\epsilon(h)=0.

לכן,

f(a+t\cdot e_j)-f(a)=df_a(t\cdot e_j)+\epsilon (t\cdot e_j)\cdot |t|\cdot ||e_j||

כיוון ש- ||e_j||=1 והדיפרנציאל הוא אופרטור לינארי, מקבלים ש-

\frac{f(a+t\cdot e_j)-f(a)}{t}=df_a(e_j)+\frac{|t|}{t}\epsilon(t\cdot e_j)

נשים לב שהגורם האחרון שואף ל-0 כש- t שואף ל-0, ולכן נקבל:

\lim_{t\to 0} \frac{f(a+t\cdot e_j)-f(a)}{t} = df_a(e_j) אך אגף שמאל, עפ"י הגדרה, זה \frac{\partial f}{\partial x_j} (a) וקיבלנו את מה שרצינו.

משפט 2

תהי f:\Omega\to\mathbb{R}^m כך ש- \Omega \subseteq \mathbb{R}^n ותהי a \in \operatorname{int} \Omega כך ש- f דיפ' ב-a, אזי מתקיים:

\forall h \in \mathbb{R}^n :df_a(h)= \sum_{j=1}^n (\frac{\partial f}{\partial x_j} (a) \cdot h_j)

הוכחה 2

יהי h\in \mathbb{R}^n אז h=(h_1,h_2,...,h_n)=h_1\vec{e_1}+...+h_n\vec{e_n}=\sum_{j=1}^n h_j\vec{e_j}. מתוך העובדה שהדיפרנציאל הוא אופרטור לינארי וממשפט 1,

df_a(h)=h_1 df_a(e_1)+...+h_n df_a(e_n)=h_1\frac{\partial f}{\partial x_1}(a)+...+h_n\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)=\sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j}(a)\cdot h_j

דוגמה בה כל הנגזרות החלקיות קיימות אבל הפונקציה לא דיפרנציאבילית

f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}\ \text{if}\ (x,y)\neq(0,0) \\ 0\ \text{if}\ x=y=0 \end{cases}

הפונקציה אפילו לא רציפה ב-0! (ניקח מסלולים y=kx ונקבל גבולות שונים)

אך הנגזרות החלקיות קיימות:

\frac{\partial f}{\partial x} (0,0) = \lim_{t\to 0} \frac{f(0+t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0} 0 = 0

ובאופן דומה לנגזרת החלקית לפי y

מהגדרה של דיפרנציאל מסדר r לנוסחה עם נגזרות חלקיות

הגדרה

תהי f \in C^r(U) כך ש- U קבוצה פתוחה ומוכלת ב- \mathbb{R}^n.

יהי h \in \mathbb{R}^n. נגדיר \varphi(t)=f(a+th), אז מתקיים ש- \varphi גזירה r פעמים ב-0.

לכן ניתן להגדיר: d^rf_a(h):=\varphi^{(r)}(0)

משפט

d^rf_a(h)=\sum_{|\alpha| =r} \frac{r!}{\alpha!}D^{\alpha}f(a)\cdot h^\alpha

(הרצאה 12)

כך ש-

\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n) מולטי אינדקס

|\alpha|=\sum_{i=1}^n |\alpha_i|

\alpha! = \alpha_1!\cdot ... \cdot \alpha_n!

h^\alpha = h_1^{\alpha_1}\cdot ... \cdot h_n^{\alpha_n}

D^\alpha f = \frac{\partial^{|\alpha|} f} {\partial x_1^{\alpha_1} ... \partial x_n^{\alpha_n} }

הוכחה

להורדת ההוכחה

תנאי מספיק לדיפרנציאביליות לפי רציפות נגזרות חלקיות

המשפט

תהי f:\Omega \to \mathbb{R}^m ותהי נקודה a\in \operatorname{int} \Omega

נניח ש-

1. עבור דלתא מספר קטן קיימות \forall_{1\leq i \leq n}\forall x \in B(a,\delta):\frac{\partial f}{\partial x_i} (x)

2. כל הנגזרות החלקיות רציפות בכדור הזה.

אזי f דיפ' ב-a. (הרצאה 9)

תנאי מספיק לקיצון מקומי עפ"י הדיפרנציאל השני

המשפט

תהי f:U\to \mathbb{R} כך ש-U קבוצה פתוחה שמוכלת ב- \mathbb{R}^n ו- f\in C^2(U).

תהי a \in U נק' קריטית של f (כלומר \nabla f(a)=0) אזי:

1. אם d^2f_a>0 אז a מינימום מקומית ממש

2. אם d^2f_a<0 אז a מקסימום מקומית ממש

3. אם d^2f_a לא שומרת סימן אז a לא קיצון.

(הרצאה 15)

משפט פונקציה סתומה - משוואה אחת

משפט

תהי W \subseteq \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} קבוצה פתוחה ותהי F:W\to \mathbb R כך ש- F \in C^r (W)

נתונה הנקודה (a,b) כך ש-

1. F(a,b)=0

2. \frac{\partial f}{\partial y} (a,b)\neq 0 (כאשר y זה המשתנה ה- n+1)

אזי קיימות סביבות a \in U , b \in V כך ש- \forall_{x \in U} \exists!_{y \in V} : F(x,y)=0.

כלומר קיימת פונקציה \varphi:U\to V כך ש- F(x,\varphi(x))=0. בנוסף \varphi \in C^r(U)

(הרצאה 16)

משפט פונקציה סתומה - מקרה כללי

משפט

תנאי הכרחי לקיצון עם אילוצים

משפט

קריטריון רימן לאינטגרביליות

משפט

תהי f:P\to \mathbb{R} כך ש- \exists C \forall x \in P: ||f(x)||\leq C, אזי f \in \mathcal{R}(P) (אינטגרבילית לפי רימן) אם ורק אם

\forall \epsilon>0 \exists \mathcal{P} : 0\leq \bar{S}(f,\mathcal{P})-\underline{S}(f,\mathcal{P}) < \epsilon

כלומר לכל אפסילון קיימת חלוקה כך שההפרש בין הסכומים העליוניים לתחתוניים קטן מאפסילון.

(הרצאה 21)

הוכחה

משמאל לימין:

יהי \epsilon>0 אזי קיימת חלוקה \mathcal{P} כך ש- 0\leq \bar{S}(f,\mathcal{P})-\underline{S}(f,\mathcal{P})< \epsilon. כלומר 0\leq \bar{S}(f,\mathcal{P})<\underline{S}(f,\mathcal{P})+ \epsilon ומכאן ש- \bar{I}(f)=\operatorname{inf}_{\mathcal Q} \bar{S}(f, \mathcal Q) < \underline{S}(f,\mathcal{P})+ \epsilon

אז \bar{I}(f)-\epsilon<\underline{S}(f,\mathcal{P})\leq \operatorname{sup}_{\mathcal Q} \underline{S}(f,\mathcal{Q}) = \underline{I}(f) ולכן \overline{I}(f)-\underline{I}(f)<\epsilon לכל אפסילון גדול מ-0. לכן \overline{I}(f)-\underline{I}(f)=0 ואז \overline{I}(f)=\underline{I}(f). אז f \in \mathcal{R} (P)

מימין לשמאל:

נניח f \in \mathcal{R} (P) אז \overline{I}(f)=\operatorname{inf}_{\mathcal Q} \bar{S}(f, \mathcal Q)=\operatorname{sup}_{\mathcal Q} \underline{S}(f,\mathcal{Q}) =\underline{I}(f)=I(f)

יהי אפסילון גדול מ-0

אז

\exists \mathcal Q : I(f)-\frac\epsilon2 < \underline{S}(f,\mathcal{Q})\leq I(f)

\exists \mathcal P : I(f)+\frac\epsilon2 > \bar S(f,\mathcal{P})\geq I(f)

לכן קיימות חלוקות \mathcal {P , Q} כך ש-

I(f)-\frac\epsilon2 < \underline{S}(f,\mathcal{Q}) \leq \bar S(f,\mathcal{P}) < I(f)+\frac\epsilon2

נגדיר \mathcal T := \mathcal P \cap \mathcal Q (לא מצאתי דרך לבטא את החיתוך עם העיגול מעל. זה הכוונה פה)

I(f)-\frac\epsilon2 < \underline{S}(f,\mathcal{Q})\leq\underline{S}(f,\mathcal{T})\leq \bar S(f,\mathcal{T})\leq \bar S(f,\mathcal{P}) < I(f)+\frac\epsilon2

\bar S(f,\mathcal{T}) -\underline{S}(f,\mathcal{T}) < I(f)+\frac\epsilon2-(I(f)-\frac\epsilon2)=\epsilon

משל

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-230_אינפי_3_סמסטר_א_תשעד_הוכחות_למשפטים_למבחן&oldid=40176