88-212 תשפא סמסטר ב

הגרסה להדפסה אינה נתמכת עוד וייתכן שיש בה שגיאות תיצוג. נא לעדכן את הסימניות בדפדפן שלך ולהשתמש בפעולת ההדפסה הרגילה של הדפדפן במקום זה.

88-212 מבוא לחוגים ומודולים

מרצה: פרופ' מיכאל שיין.

מתרגל: גיא בלשר.

שעות קבלה: בתיאום מראש.

קישורים

שאלות ותשובות (כן! גם אתם יכולים לשאול ולענות.)

הודעות

במהלך הקורס יתקיימו שני בחנים, בתאריכים:

29.4.2021 - בשעה 18:00
20.5.2021 - בשעה 18:00

החומר ופרטים נוספים יפורסמו לקראת הבחנים.

העליתי לכם תרגול השלמה ותרגיל בית המתאים לו. בתרגול הבא נעבור על הנושא בזריזות, לכן מומלץ לקרוא את התרגול ולעבור עליו לפני.

שעת קבלה לקראת בוחן 2ב תתקיים ביום שלישי הקרוב (1.6) בשעה 15:00. (השעה עשויה להתעדכן, אז כדאי לבדוק ביום שני בערב אם יש שינוי)

בוחן 1

טופס הבוחן, ופתרונו. שימו לב שלשאלות מסוימות יכולות להיות מספר תשובות, ולא כולן כתובות פה.

הבוחן הראשון יתקיים ביום חמישי, 29.4, בשעה 18:00. הנושאים לבוחן הם כל מה שלמדנו בהרצאה ובתרגול עד ה-19.4, כולל (החומר של יריעות אלגבריות הוא בגדר העשרה). בבוחן לא תצטרכו לזכור הוכחות משפטים מן ההרצאה, אך כמובן תצטרכו לזכור את ההגדרות ואת המשפטים, וייתכנו הוכחות של טענות קצרות יותר שהופיעו בהרצאה ובתרגול.

בעמודי הקורס מהשנים הקודמות תוכלו למצוא מערכי תרגול ותרגילי בית נוספים. רוב התרגילים שהיו בתרגילים שלכם חופפים לכאלו שהיו בשנים הקודמות, אך יש מעט הבדלים. מבחינת בחנים, הבחנים של תשע"ח ושל תשע"ט שניהם מכסים את החומר שהגענו אליו. הבוחן של תשע"ז מתייחס גם לנושאים שפחות התעסקנו בהם. השאלות שכן בחומר הן שאלה 1 ושאלה 2ב' שאפשר לפתור בלי סעיף א' (וניסוח אלטרנטיבי לסעיף א': הוכיחו שבחוג [math]\displaystyle{ F[x]/\langle x^2\rangle }[/math] יש אידאל מקסימלי יחיד).

שימו לב שצריך להצטייד בתעודה מזהה, מצלמה אחת מכוונת לפנים ומצלמת צד אחת (כמו במבחנים שהיו בסמסטר הקודם). תהיה השגחה מטעם מדור בחינות.

בהצלחה!

בוחן 2

הבוחן השני יתקיים ביום חמישי, 20.5, בשעה 18:00 אם זה יתאפשר. החומר לבוחן: כל החומר עד תחומי שלמות לסוגיהם (כולל). כלומר: עד הרצאה 10 כולל ועד תרגול 7 כולל. אתם יכולים לתרגל את החומר מתרגילי הבית, לעבור על חוברת הקורס של פרופ' וישנה (יש בה הרבה תרגילים בכל הנושאים), ולהסתכל במבחנים משנים קודמות על השאלות בנושאים הרלוונטיים.

בעקבות המצב, יהיה מועד נוסף בהמשך הסמסטר בתאריך שייקבע בהמשך, אך ניתן יהיה לגשת רק לאחד משני המועדים. התאריך והחומר למועד השני יעודכנו בהקדם.

בוחן 2 השני

המועד הנוסף לבוחן 2 הוא יום חמישי, 3.6, בשעה 18:00. החומר לבוחן: כל הנושאים שלמדנו בתורת החוגים, וההתחלה של נושא מודולים (כולל: הגדרות בסיסיות, משפטי האיזומורפיזם, מודולים פשוטים, מודולים ציקליים, מודולים נוצרים סופית, מודולים חופשיים). הנושא של מאפס ושל פיתול שלמדתם בהרצאה אינו בחומר לבוחן.

תרגילי בית

תרגילי הבית אינם להגשה, אך מומלץ מאוד לפתור אותם על מנת לעקוב אחרי הנעשה בקורס. בנוסף, ייתכן שבחלק מהתרגולים נשתמש בטענות ובדוגמאות המופיעות בתרגילי הבית.

קבצי הרצאות

קבצי תרגולים

השלמה מתרגול 4: הוכחה מלאה לכך ש-[math]\displaystyle{ \mathbb{C}[x,y]/\langle xy-1\rangle\cong\mathbb{C}[t,t^{-1}] }[/math], נמצאת פה.

תרגול 5, 19.4.2021
תרגול 6, 26.4.2021
תרגול 7, 3.5.2021
תרגול השלמה - לקריאה עצמית. הוספתי בהמשך העמוד הזה הוכחה למשפט 3 בתרגול למעוניינים. בנוסף, שימו לב שבמסקנה 24 צריך להניח ש-[math]\displaystyle{ g }[/math] הוא פרימיטיבי בעצמו.
תרגול 9, 24.5.2021

תשובות לשאלות מהתרגול

שאלה: האם קיימים חוגים לא איזומורפיים [math]\displaystyle{ R,S }[/math] כך שהחבורות החיבוריות שלהם איזומורפיות וגם המונואידים הכפליים שלהם (כלומר [math]\displaystyle{ R\setminus\{0\},S\setminus\{0\} }[/math] ביחס לפעולות הכפל המתאימות) איזומורפיים?

תשובה: כן. אפשר למשל לקחת [math]\displaystyle{ R=F[x],S=F[x,y] }[/math].

רעיון ההוכחה: שני החוגים [math]\displaystyle{ R }[/math] ו-[math]\displaystyle{ S }[/math] שכתבנו הם תחומי פריקות יחידה. לכן המונואידים הכפליים שלהם איזומורפיים למכפלה ישרה של [math]\displaystyle{ \mathbb{N}\cup\{0\} }[/math], לפי כמות האיברים האי-פריקים בכל אחד מהחוגים. אבל בשניהם יש אותה עוצמה של איברים אי-פריקים, לכן המונואידים הכפליים איזומורפיים.

שאלה: האם מכפלה נקודתית של קוסטים שווה למכפלה של קוסטים כפי שהגדרנו אותה? כלומר, האם [math]\displaystyle{ (a+I)(b+I)=ab+I\overset{?}{=}\{(a+x)(b+y)\mid x,y\in I\} }[/math]?

תשובה: לא! באופן כללי יש הכלה של המכפלה הנקודתית (אגף ימין) באגף שמאל, אך לא חייב להיות שוויון. ניקח למשל [math]\displaystyle{ R=\mathbb{Z} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ I=4\mathbb{Z} }[/math]. אפשר לבדוק שבמקרה הזה [math]\displaystyle{ (2+4\mathbb{Z})^2=4\mathbb{Z} }[/math] לפי הגדרת הכפל שלנו, אך [math]\displaystyle{ 0 }[/math] אינו מופיע כאיבר במכפלה הנקודתית (כי אף קוסט אינו מכיל את [math]\displaystyle{ 0 }[/math]).

שאלה: איך נראה חוג שבו כל תת-חוג הוא אידאל? (לחוגים שמקיימים את התכונה הזו קוראים חוגים המילטוניים, ובאנגלית בקיצור H-rings).

תשובה: נראה כי חוג כזה חייב להיות [math]\displaystyle{ \{0\} }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} }[/math] או [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]. נניח שהחוג שלנו הוא לא חוג האפס, ונסתכל על תת-החוג [math]\displaystyle{ S }[/math] הנוצר על ידי [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. זו בעצם התמונה של ההומומורפיזם היחיד [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}\to R }[/math]. לפי ההנחה, [math]\displaystyle{ S }[/math] חייב להיות אידאל. אבל אז לכל [math]\displaystyle{ a\in R }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a=a\cdot 1\in S }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ R=S }[/math]. מפה אפשר לקבל את הטענה בקלות.

השאלה הזו נהיית מעניינת יותר אם עוברים לחוגים בלי יחידה. שם אין לנו מיון מלא של כל החוגים ההמילטוניים ללא יחידה, אבל יש עבודות בנושא.

שאלה: מדוע עבור חוג חילופי [math]\displaystyle{ R }[/math], איבר [math]\displaystyle{ c\in R }[/math] ופולינום [math]\displaystyle{ f(x)\in R[x] }[/math], מתקיים ש-[math]\displaystyle{ f(c)=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ (x-c)\mid f(x) }[/math]?

תשובה: כדי להוכיח את זה, ניעזר בטענה שמעל כל חוג חילופי [math]\displaystyle{ R }[/math] ניתן לחלק עם שארית אם הפולינום שמחלקים בו הוא מתוקן. השתמשנו בטענה הזו מספר פעמים, אתם יכולים למצוא הוכחה שלה בתשובה הראשונה כאן.

אם [math]\displaystyle{ (x-c)\mid f(x) }[/math], ברור ש-[math]\displaystyle{ f(c)=0 }[/math]. בכיוון השני, נניח [math]\displaystyle{ f(c)=0 }[/math], ונחלק את [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] בפולינום המתוקן [math]\displaystyle{ x-c }[/math] עם שארית: [math]\displaystyle{ f(x)=q(x)\cdot (x-c)+r }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ r }[/math] חייב להיות קבוע. נציב [math]\displaystyle{ x=c }[/math] במשוואה ונקבל [math]\displaystyle{ 0=f(c)=q(c)\cdot 0+r=r }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ f(x)=q(x)\cdot (x-c) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ (x-c)\mid f(x) }[/math].

שימו לב שלמרות שהטענה הזו נכונה, זה לא אומר שהפירוק יחיד. למשל, בחוג [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} }[/math] יש לפולינום [math]\displaystyle{ x^2+x }[/math] ארבעה שורשים שונים: [math]\displaystyle{ 0,2,3,5 }[/math]. ואכן, מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} }[/math] אפשר לכתוב את הפולינום כך: [math]\displaystyle{ x^2+x=x(x-5)=(x-2)(x-3) }[/math] (כי עובדים מודולו [math]\displaystyle{ 6 }[/math]). אלו שני פירוקים לא שקולים של [math]\displaystyle{ x^2+x }[/math] למכפלה של גורמים לינאריים, וזו לא בעיה כי [math]\displaystyle{ \left(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\right)[x] }[/math] הוא לא תחום פריקות יחידה.

חומר נוסף

חוברת מערכי תרגול משנת תשע"ח גרסה 1.15, נכתבה על ידי תומר באואר. שימו לב כי אמנם ההתחלה תהיה דומה, אך במהלך הקורס יהיו שינויים יותר משמעותיים במערכי התרגול, בהתאם לקצב ההתקדמות ולנושאים שיילמדו השנה.

העשרה: מאמר עם הוכחה שו[math]\displaystyle{ \dim R+1\leq\dim R[x]\leq 2\dim R+1 }[/math] נמצא כאן (משפט 2). אפשר לנסות לקרוא גם את ההמשך, אבל הוא מכיל מושגים שלא התייחסנו אליהם בינתיים.