הבדלים בין גרסאות בדף "חדוא 1 - ארז שיינר"
מתוך Math-Wiki
(←מבוא לגבולות) |
(←הטור ההרמוני המוכלל) |
||
שורה 675: | שורה 675: | ||
− | *<math>\sum_{k= | + | *<math>\sum_{k=2}^\infty\frac{1}{k\cdot\ln(k)}</math> |
− | *<math>\sum_{k= | + | *<math>\sum_{k=2}^\infty\frac{1}{\ln(k!)}</math> |
גרסה אחרונה מ־09:31, 30 בינואר 2023
אהבתם חדו"א 1? אז תעופו על חדו"א 2!
תוכן עניינים
- 1 תרגילי הכנה למבחן ופתרונותיהם
- 2 מבחנים ופתרונות
- 3 סרטוני ותקציר ההרצאות
- 3.1 פרק 1 - מספרים וחסמים
- 3.2 פרק 2 - סדרות
- 3.2.1 הגדרת הגבול
- 3.2.2 שאיפה לאפס
- 3.2.3 משפטי סנדביץ'
- 3.2.4 מבוא לחשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)
- 3.2.5 אינדוקציה
- 3.2.6 חזקת אינסוף
- 3.2.7 כלל המנה
- 3.2.8 חזקות של גבולות
- 3.2.9 סדרות מונוטוניות והמספר e
- 3.2.10 תתי סדרות וגבולות חלקיים
- 3.2.11 כלל הe
- 3.2.12 חשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)
- 3.2.13 קריטריון קושי לסדרות
- 3.3 פרק 3 - טורים
- 3.4 פרק 4 - פונקציות ורציפות
- 3.5 פרק 5 - גזירות
- 3.6 פרק 6 - חקירה
תרגילי הכנה למבחן ופתרונותיהם
מבחנים ופתרונות
מערכי תרגול עם פתרונות
מבחנים של מתמטיקה
- מבחן מועד א' החממה תשפ"א, פתרון
- מבחן מועד ב' החממה תשפ"א, פתרון
- פתרון מבחן לדוגמא החממה תשפ"א
- מבחן מועד א תשע"ט, פתרון
- מבחן דמה תשע"ז, פתרון
- מבחן מועד א' תשע"ז, פתרון
- מבחן מועד ב' תשע"ז, פתרון
- מבחן מועד א' תשע"ו, פתרון המרצה, פתרון המתרגלים, פתרון ארז שיינר
- מבחן מועד א' תשע"ג, פתרון
- מבחן מועד ב' תשע"ג, פתרון חלקי
- מבחן דמה למתמטיקאים תשע"ב, פתרון
- מבחן דמה נוסף תשע"ב, פתרון
- מועד מיוחד תשע"ב, פתרון
- מועד א' תשע"ב, פתרון
- מועד ב' למתמטיקאים תשע"ב כולל פתרון
- מבחן מועד א' החממה תשע"א פתרון
- מבחן מועד ב' החממה תשע"א פתרון
- פתרון תשס"ב, מועד א
- פתרון תשס"ג, מועד ב
- פתרון תשנ"ט, מועד ב
- פתרון תש"נ, אין מועד
- פתרון תשנ"ו, מועד ב'
מבחנים של מדמ"ח
- מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א
- מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א
- מבחן לדוגמא תשפ"א, פתרון מבחן לדוגמא תשפ"א
- מועד א' תשפ"א, פתרון מועד א' תשפ"א
- מועד ב' תשפ"א, פתרון מועד ב' תשפ"א
- מועד ג' תשפ"א, פתרון מועד ג' תשפ"א
- מבחן לדוגמא תש"ף, פתרון מבחן לדוגמא תש"ף
- מבחן מועד א' תש"ף, פתרון מבחן מועד א' תש"ף
- פתרון מבחן מועד ג' תשע"ז
- מועד א' תשע"ג פתרונות בלבד
- מבחן דמה תשע"ג, פתרון מבחן דמה תשע"ג
- מבחן מדמ"ח מועד א' תשעב ופתרונו.
מבחנים של הנדסה
- מבחנים בחדו"א 1 של הנדסה - שאלות 2,6 אינן רלונטיות לקורס זה
מבחנים של אנליזה למורים
- מבחנים בקורס אנליזה 1 למורים - אמנם כלל השאלות רלוונטיות, אולם הרמה הכולל של המבחנים נמוכה יותר מקורס זה
הצעות פתרון למבחנים מהשנים תשע"ה-תשפ"ב (תיכוניסטים)
ע"י לירן מנצורי ויונתן סמידוברסקי
- מבחן תשפ"ב מועד א'
- מבחן תשפ"א מועד א' (XI)
- מבחן תשפ"א מועד א' (XI)
- מבחן תשע"ט מועד ב'
- מבחן תשע"ט מועד א'
- מבחן תשע"ח מועד ב'
- מבחן תשע"ח מועד א'
- מבחן תשע"ז מועד ב'
- מבחן תשע"ז מועד א'
- מבחן תשע"ו מועד ב'
- מבחן תשע"ו מועד א'
- מבחן תשע"ה מועד ב'
- מבחן תשע"ה מועד א'
מבחנים מאוניברסיטאות שונות
סרטוני ותקציר ההרצאות
פלייליסט ההרצאות של אינפי 1 למדמח תשפ"א
פרק 1 - מספרים וחסמים
קבוצות מספרים
- הטבעיים
- השלמים
- הרציונאליים
- הממשיים
, כל השברים העשרוניים כולל האינסופיים
- העשרה: בנייה של שדה הממשיים באמצעות חתכי דדקינד
- לא קיים
כך ש
.
- במילים פשוטות,
אינו רציונאלי (בהמשך נוכיח שיש מספר ממשי כזה).
חזקות ולוגריתמים
- לכל מספר ממשי
ולכל מספר טבעי
נגדיר
כפל n פעמים
- לכל מספר ממשי אי שלילי
ולכל מספר טבעי
נגדיר
כלומר המספר האי שלילי שבחזקת n שווה לx.
- לכל מספר ממשי אי שלילי
ולכל זוג מספרים טבעיים
נגדיר
- לכל מספר ממשי
נגדיר
- מה לגבי חזקות ממשיות אי רציונליות?
- נגדיר אותן באמצעות גבול של חזקות רציונאליות
- לכל מספר ממשי
ולכל חזקה ממשית שלילית
נגדיר
- לכל
נגדיר את
להיות המספר שa בחזקתו שווה לx.
- חוקי לוגים:
אם ורק אם
חסמים
- תהי
אזי:
נקרא המקסימום של A או האיבר הגדול ביותר של A אם לכל
מתקיים כי
נקרא חסם מלעיל של A אם לכל
מתקיים כי
נקרא המינימום של A או האיבר הקטן ביותר של A אם לכל
מתקיים כי
נקרא חסם מלרע של A אם לכל
מתקיים כי
- כמו כן:
- אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של A הוא נקרא החסם העליון של A, או הסופרמום של A ומסומן
- אם יש איבר גדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של A הוא נקרא החסם התחתון של A, או האינפימום של A ומסומן
- אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של A הוא נקרא החסם העליון של A, או הסופרמום של A ומסומן
- בשדה הממשיים לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון, ולכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע יש חסם תחתון.
- בשדה הרציונאליים זה לא נכון; לקבוצה
אין מספר רציונאלי קטן ביותר מבין חסמי המלעיל שלה.
- תהי
ויהי
אזי:
- M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר
קיים מספר
כך ש
- m הוא החסם התחתון של A אם ורק אם m הוא חסם מלרע של A ולכל מספר
קיים מספר
כך ש
- M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר
- דוגמא: תהיינה
חסומות מלעיל כך שA אינה מכילה חסמי מלעיל של B, אזי
שיטות הוכחה בסיסיות
- הוכחת טענות מכומתות - טענות 'לכל' וטענות 'קיים'
פרק 2 - סדרות
הגדרת הגבול
- הגדרת הגבול של סדרה:
- תהי סדרה ממשית
ויהי מספר ממשי
.
הינו גבול הסדרה
(מסומן
או
) אם:
- לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר:
- לכל מרחק
קיים מקום
כך שאחריו לכל
מתקיים כי
- נגדיר ש
אם לכל
קיים
כך שלכל
מתקיים כי
- נגדיר ש
אם
- טענה: תהי
אזי
- טענה: תהי
אזי
- אם
וכן
אזי
- סדרה המתכנסת לגבול סופי חסומה.
- בפרט, כל שינוי, תוספת או החסרה של מספר סופי של איברים לא משפיע על גבול הסדרה.
- תהי סדרה
המתכנסת לגבול סופי והמקיימת לכל
כי
אזי
שאיפה לאפס
- תהי סדרה
ויהי
אזי
אם ורק אם
- בפרט
אם ורק אם
- בפרט
- תהי
ותהי
חסומה, אזי
- תהיינה
אזי גם
משפטי סנדביץ'
- משפט הסנדביץ' -
- תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי
- כמו כן, יהי
כך ש
- אזי
- תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי
- חצי סנדביץ'-
- תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי
- כמו כן נתון כי
- אזי
- תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי
- חצי סנדביץ' על הרצפה -
- תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי
- כמו כן נתון כי
- אזי
- תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי
מבוא לחשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)
- תהיינה
,
אזי
- אם
אזי
אינדוקציה
- משפט האינדוקציה המתמטית
- תהי סדרת טענות כך שמתקיימים שני התנאים הבאים:
- הטענה הראשונה נכונה.
- לכל
אם הטענה הn מתקיימת אז גם הטענה הn+1 מתקיימת.
- אזי כל הטענות בסדרה נכונות
- אי שיוויון ברנולי: יהי
אזי לכל
מתקיים כי
חזקת אינסוף
- תהי
אזי:
- אם
מתקיים כי
- אם
מתקיים כי
- אם
- שימו לב כי ייתכן ו
, כלומר איברי הסדרה גדולים מ1 אך גבולה הוא 1 ואז המשפט אינו תקף.
כלל המנה
- כלל המנה (הוכחה בסיכום הבא על אי-שוויון הממוצעים).
- תהי סדרה
המקיימת כי גבול המנה הוא
אזי:
- אם
מתקיים כי
- אם
מתקיים כי
- מתקיים כי
- אם
- תהי סדרה
- דוגמאות:
- עבור
מתקיים
חזקות של גבולות
- יהי
ותהי
אזי
- רעיון הוכחה: אם
אזי
והרי
לפי כלל המנה
- רעיון הוכחה: אם
- יהי
ותהי
אזי
- רעיון הוכחה:
- רעיון הוכחה:
- תהי
ותהי
אזי
- רעיון הוכחה:
לפי חשבון גבולות (כפל) שני הצדדים שואפים ל1. (אם
אי השיוויון הפוך).
- רעיון הוכחה:
- תהי
ותהי
אזי
- רעיון הוכחה:
- רעיון הוכחה:
- תהי
ותהי
אזי
- רעיון הוכחה: החל משלב מסויים
- רעיון הוכחה: החל משלב מסויים
סדרות מונוטוניות והמספר e
- כל סדרה מונוטונית הינה חסומה מתכנסת לגבול סופי, או שאינה חסומה ושואפת לגבול אינסופי.
- דוגמא: נביט בסדרה
- כיוון ש
מדובר בסדרה מונוטונית עולה.
- אם הסדרה חסומה:
- קיים לה גבול סופי
- נחשב את גבול שני צידי המשוואה
- לכן
ולכן
- אבל הסדרה עולה וחסומה מלמטה ע"י האיבר הראשון ולכן
- כלומר
בסתירה.
- קיים לה גבול סופי
- מכאן הסדרה אינה חסומה, וכיוון שהיא עולה
- כיוון ש
- המספר e (הוכחות בעזרת אי-שוויון הממוצעים).
.
תתי סדרות וגבולות חלקיים
הגדרת גבול חלקי
- לכל סדרת מקומות
המקיימת לכל
כי
נגדיר כי
הינה תת סדרה של הסדרה
- שימו לב כי מקומות תת הסדרה הם באותו הסדר כמו בסדרה המקורית, ואסור לחזור על איבר פעמיים.
- לדוגמא:
- נביט בסדרה
- אזי
היא תת הסדרה של האיברים במקומות הזוגיים
- נביט בסדרה
- נגדיר ש
הוא גבול חלקי של הסדרה
אם קיימת תת סדרה
כך ש
- טענה - יהי
סופי או אינסופי, אזי:
אם ורק אם לכל תת סדרה
מתקיים כי
משפט בולצאנו-ויירשטראס
- לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית.
- משפט בולצאנו-ויירשטראס - לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת.
גבול עליון וגבול תחתון
- תהי סדרה
- נגדיר את הגבול העליון שלה (limsup):
- אם
אינה חסומה מלעיל אזי
- אם
חסומה מלעיל ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את
להיות החסם העליון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה
- אחרת, נגדיר
- אם
- נגדיר את הגבול התחתון שלה (liminf):
- אם
אינה חסומה מלרע אזי
- אם
חסומה מלרע ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את
להיות החסם התחתון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה
- אחרת, נגדיר
- אם
- לכל גבול חלקי L של הסדרה מתקיים כי:
- הגבול העליון והגבול התחתון הם גבולות חלקיים (כלומר יש תת סדרה ששואפת לגבול העליון, ויש תת סדרה ששואפת לגבול התחתון).
- לכל
מתקיים כי
אם ורק אם
תתי סדרות המכסות סדרה
- אם ניתן לחלק סדרה למספר סופי של תתי סדרות המכסות את כולה, וכולן שואפות לאותו הגבול - אזי הסדרה כולה שואפת לגבול זה.
- ייתכן שניתן לחלק סדרה לאינסוף תתי סדרות שכולם שואפות לאותו הגבול, אך הסדרה לא תשאף לגבול זה.
כלל הe
- תהי
אזי
- אם
אזי
.
בין אם
שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.
- שימו לב שאם
, אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב
ששווה אפס.
- דוגמא:
חשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)
- אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
- חסומה כפול אפיסה = אפיסה
- חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
- אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
- יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
- אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
- אינסוף בחזקת מספר חיובי זה אינסוף
- סדרה השואפת לגבול גדול מאחד, בחזקת אינסוף זה אינסוף.
- סדרה השואפת לגבול בין מינוס אחד לאחד לא כולל, בחזקת אינסוף, זה אפס.
המקרים הבעייתיים
- המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
קריטריון קושי לסדרות
- דוגמא: הסדרה
מקיימת כי
אך היא אינה מתכנסת למספר סופי אלא שואפת לאינסוף.
- הגדרה: סדרה
מקיימת את קריטריון קושי (ונקראת סדרת קושי) אם:
- לכל מרחק
קיים מקום
כך שאחריו לכל זוג מקומות
מתקיים כי
(המרחק בין האיברים במקומות הללו קטן מאפסילון).
- משפט: בממשיים, סדרה מתכנסת לגבול סופי אם ורק אם היא סדרת קושי.
- תרגיל: תהי סדרה המקיימת לכל n כי
אזי היא מתכנסת למספר סופי.
פרק 3 - טורים
מבוא והגדרה
- תהי סדרה
, נגדיר את סדרת הסכומים החלקיים (סס"ח בקיצור) של
ע"י
- ולכל
מתקיים
- במילים אחרות,
- הגדרת הטור
- אומרים כי
אם
- אומרים כי
- אם לסס"ח יש גבול סופי אומרים כי הטור מתכנס, ואילו אם אין לה גבול סופי אומרים כי הטור מתבדר.
- שימו לב כי בעצם:
- אם הטור
מתכנס, אזי
- הוכחה:
- לכן
- מסקנה: שינוי מספר סופי של איברי הטור לא משפיע על התכנסות, אבל כן משפיע על סכום הטור.
חשבון טורים
- אם הטור
מתכנס, ו
קבוע אזי
- אם הטורים
מתכנסים אזי
הטור ההנדסי
- הטור
מתכנס אם ורק אם
וכאשר הוא מתכנס מתקיים כי:
וכמו כן
טור מקל סלפי (טלסקופי)
- חישוב
על ידי הסס"ח הטלסקופי
- חישוב
על ידי הסס"ח הטלסקופי
העשרה על סוגי סכימה
התכנסות בהחלט
- משפט: אם טור הערכים המוחלטים
מתכנס, אזי גם הטור המקורי
מתכנס.
- הגדרה:
- הטור
נקרא מתכנס בהחלט אם
מתכנס וגם
מתכנס
- הטור
נקרא מתכנס בתנאי אם
מתכנס אך
מתבדר
- הטור
נקרא מתבדר אם
מתבדר וגם
מתבדר
- הטור
- משפט: (הכללת אי שיוויון המשולש) יהי טור מתכנס בהחלט, אזי:
- הוכחה:
- לפי אי שיוויון המשולש, לכל n סופי מתקיים כי
- ולכן גם הגבול של הסדרה השמאלית קטן או שווה לגבול של הסדרה הימנית, וזו התוצאה שרצינו.
מבחני התכנסות לטורים חיוביים
הקדמה והטור ההרמוני
- הגדרה: טור
נקרא טור חיובי אם לכל n מתקיים כי
.
- סדרת הסכומים החלקיים של טור חיובי היא מונוטונית עולה, לכן הטור מתכנס אם ורק אם היא חסומה.
- לסס"ח של הטור ההרמוני
יש תת סדרה ששואפת לאינסוף, ולכן הטור מתבדר:
- ...
- באופן כללי
מבחני ההשוואה
- מבחן ההשוואה הראשון-
- תהיינה סדרות כך ש
לכל n. אזי:
- אם הטור הגדול יותר
מתכנס בוודאי הטור הקטן יותר
מתכנס.
- נובע מכך לוגית שאם הטור הקטן מתבדר, הטור הגדול מתבדר.
- אם הטור הגדול יותר
- דוגמא:
- ראינו שהטור החיובי
מתכנס ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון גם הטור החיובי
מתכנס
- מבחן ההשוואה הגבולי-
- תהיינה סדרות
כך ש
אזי:
- אם
אזי
החל משלב מסויים, ולכן אם
מתכנס גם
מתכנס
- אם
אזי
החל משלב מסויים, ולכן אם
מתכנס גם
מתכנס
- אחרת,
והטורים חברים
, כלומר
מתכנס אם ורק אם
מתכנס
- אם
- דוגמא:
מבחני השורש והמנה
- יהי טור
- מבחן המנה -
- אם
אזי הטור מתכנס בהחלט
- אם
אזי
ולכן הטור מתבדר
- אם
- מבחן השורש -
- אם
אזי הטור מתכנס בהחלט
- אם
אזי
ולכן הטור מתבדר
- אם
- שימו לב - במבחן השורש לוקחים את הגבול העליון בשני המקרים, ובמבחן המנה צריך שהעליון יהיה קטן מאחד, או התחתון גדול מאחד. זו לא טעות...
מבחן העיבוי
- מבחן העיבוי-
- תהי
סדרה מונוטונית יורדת אזי הטור
מתכנס אם ורק אם
מתכנס
- תהי
- הוכחה:
- ראשית, נוכיח באינדוקציה כי
כלומר
- כעת נוכיח באינדוקציה כי
- ראשית, נוכיח באינדוקציה כי
- סה"כ אם הטור האחד מתכנס, הסס"ח של השני חסומה ולכן גם השני מתכנס.
הטור ההרמוני המוכלל
- הטור
מתכנס אם ורק אם
- דוגמאות:
מבחני התכנסות לטורים כלליים
מבחן דיריכלה
- תהי סדרה
סדרה מונוטונית יורדת לאפס
- תהי סדרה
כך שהסס"ח שלה חסומה, כלומר קיים
כך שלכל n מתקיים
- אזי הטור
מתכנס.
- דוגמאות:
- הוכחה:
- נסמן ב
את סדרת הסכומים החלקיים של הטור
וב
את סדרת הסכומים החלקיים של
.
- יהיו
- כעת נשתמש בעובדה כי
לכל n,
סדרה חיובית, וכן
לכל n.
- לכן
סדרת קושי ולכן מתכנסת לגבול סופי, כלומר הטור מתכנס.
מבחן לייבניץ
- תהי
סדרה מונוטונית יורדת לאפס. אזי:
- הטור
מתכנס.
.
- הטור
- הוכחה:
- כיוןן שהסס"ח של
חסומה הטור מתכנס לפי מבחן דיריכלה.
- נסמן ב
את הסס"ח של הטור
.
- כיוון שהסדרה
יורדת, ניתן להוכיח באינדוקציה כי:
- כיוןן שהסס"ח של
סיכום בדיקת התכנסות 🖖
- כיצד נבחן אם הטור
מתכנס בהחלט, בתנאי או מתבדר?
- אם ניתן להראות כי
הטור מתבדר
- נבצע מבחני ספוק 🖖
- אם לפי מבחני ההשוואה (הראשון או הגבולי) הטור
אינו מתכנס, אז אין התכנסות בהחלט, נעבר לבדוק התכנסות בתנאי.
- אם במבחן המנה או השורש הגבול גדול מ1 הטור מתבדר, אם קטן מ1 הטור מתכנס בהחלט ואם שווה ל1 צריך לנסות משהו אחר.
- אם במבחן העיבוי הטור
אינו מתכנס, אז אין התכנסות בהחלט, נעבר לבדוק התכנסות בתנאי.
- אם לפי מבחני ההשוואה (הראשון או הגבולי) הטור
- אם לא מצאנו התכנסות בהחלט, נבצע מבחנים על טורים כלליים בשביל לבדוק התכנסות בתנאי
- מבחן לייבניץ
- מבחן דיריכלה
- עבודה ישירה על סדרת הסכומים החלקיים (טור טלסקופי למשל)
סכום האיברים החיוביים, וסכום האיברים השליליים
- תהי סדרה
ונגדיר את:
- הטור
מתכנס בהחלט אם ורק אם הטורים
מתכנסים שניהם.
- אם הטור
מתכנס בתנאי אזי הטורים
מתבדרים שניהם ושואפים לאינסוף.
- כפי שהוכחנו בעבר בדרך שונה, אם הטור מתכנס בהחלט נובע ש
מתכנסים שניהם, וביחד עם העובדה ש
נובע שהטור מתכנס.
שינוי סדר הסכימה
- תהי
פונקציה הפיכה ותהי סדרה
אז נאמר ש
היא שינוי סדר של הסדרה
.
- תרגיל - אם
גם שינוי הסדר מקיים
- דוגמא:
- בדוגמא האחרונה:
- נסמן ב
את הסס"ח של
ומתקיים כי:
- נסמן ב
את הסס"ח של שינוי הסדר
, מתקיים כי:
- שינוי הסדר אמנם הותיר את הטור מתבדר, אך הפך את סדרת הסכומים החלקיים מחסומה לשואפת לאינסוף.
משפט רימן
- משפט רימן - יהי טור מתכנס בתנאי
אזי לכל
קיים שינוי סדר כך ש
- כלומר, אם הטור מתכנס בתנאי, ניתן לגרום לו להתכנס לכל ערך שנרצה (ואף לשאוף לפלוס או מינוס אינסוף), על ידי שינוי סדר איברי הסדרה.
שינוי סדר הסכימה של טור מתכנס בהחלט
- יהי טור מתכנס בהחלט
אזי לכל שינוי סדר
מתקיים כי
- כלומר, שינוי סדר איברי הסדרה אינו משפיע על סכום הטור.
פרק 4 - פונקציות ורציפות
מבוא לגבולות
- מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית, חילוק פולינומים).
הגדרת הגבול לפי קושי
-
אם לכל סביבה של L בציר y קיימת סביבה של
בציר x, כך שלכל ערכי x בסביבה של
פרט אולי ל
עצמו, ערכי ציר y כלומר
נמצאים בסביבה של L בציר y.
- דוגמאות:
אם לכל
קיים
כך שלכל x המקיים
מתקיים
אם לכל
קיים
כך שלכל x המקיים
מתקיים כי
אסימפטוטה אופקית מימין של
אם לכל
קיים
כך שלכל x המקיים
מתקיים כי
הגדרת הגבול לפי היינה
אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס
סדרת המספרים על ציר y מקיימת
אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס
סדרת המספרים על ציר y מקיימת
אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס
סדרת המספרים על ציר y מקיימת
הגדרה זו שקולה להגדרה של קושי, כלומר הגבול שווה לL לפי קושי אם ורק אם הוא שווה לL לפי היינה.
- מרבית כללי האריתמטיקה המורחבות נובעים "בחינם" עבור פונקציות
אם ורק אם
הפונקציות הטריגונומטריות
- הגדרת סינוס וקוסינוס ע"י מעגל היחידה.
- עבור זוית
שטח המשולש חסום בשטח הגזרה (משולש פיצה עם הקשה) שחסום בשטח המשולש:
- כיוון ש
בתחום
, נובע לפי סנדוויץ' ש
.
- כיוון שמדובר בפונקציה אי זוגית, נובע שזה גם הגבול משני הצדדים.
- כעת בתחום
הקוסינוס חיובית ולכן
ונובע כי
.
- כיוון ש
- נחלק את אי השיוויון הטריגונומטרי בסינוס ונקבל:
- לפי כלל הסנדביץ
- כיוון שמדובר בפונקציה זוגית, נובע שהגבול משני הצדדים שווה 1.
- עבור זוית
- ראינו ש
.
- שימו לב ש
, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף.
רציפות
- רציפות.
- הגדרה:
- פונקציה f נקראית רציפה בקטע
אם f רציפה בכל נקודה בקטע
ובנוסף
וגם
- טענה: אם f רציפה ב
אזי לכל סדרה
(גם אם אינה שונה מ
) מתקיים כי
.
- גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.
מתקיים כי
אבל
.
- הרכבת רציפות: תהי f רציפה ב
ותהי g רציפה ב
. אזי
רציפה ב
.
- הוכחה:
- תהי סדרה
אזי
- לפי הטענה הקודמת,
.
- פונקציות הפיכות (הוכחות והגדרות מדוייקות בבדידה).
- פונקציה
הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל
- הפונקציה ההופכית היא
ומתקיים כי
אם"ם
- פונקציה
- טענה: אם
רציפה בקטע
, אזי
רציפה בקטע
.
- הוכחה:
- תהי
, צ"ל ש
- יהי גבול חלקי
.
- אזי
.
- מצד שני, לפי רציפות הפונקציה f מתקיים
.
- לכן
ולכן
.
אי רציפות
- מיון אי רציפות.
- רציפות - הגבול בנקודה שווה לערך בנקודה.
- סליקה - הגבול קיים וסופי בנקודה, אך שונה מהערך בנקודה או שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה.
- קפיצתית (מין ראשון) - הגבולות החד צדדיים קיימים סופיים ושונים בנקודה.
- עיקרית (מין שני) - אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים או שאינו סופי.
פרק 5 - גזירות
הגדרת הנגזרת
- הסבר לגבי שיטת ההצבה בה השתמשנו לעיל:
- נניח כי
ונוכיח כי
, והוכחה דומה בכיוון ההפוך.
- תהי
נגדיר את הסדרה
.
- כיוון ש
נובע כי
.
- אם f גזירה בנקודה, היא רציפה בנקודה:
- צ"ל
- לפי אריתמטיקה של גבולות זה שקול ל
- לפי עקרון win (קיצור של wouldn't it be nice?) מתקיים כי
- צ"ל
- פונקציה הערך המוחלט אינה גזירה באפס
וגבול זה אינו קיים, כיוון שהגבולות החד צדדים שונים.
- ניתן לשים לב גם ש
, וכמו כן נראה בהמשך כי
אינה גזירה באפס.
הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות
- טריגו:
- באופן דומה
- לוג:
- המעבר האחרון נובע מהעובדה שפונקצית הלוג רציפה.
- (בפרט נובע כי
.)
- בפרט נובע כי
- בפרט נובע כי
- אקספוננט:
- בפרט נובע כי
.
- בפרט נובע כי
- ישר:
חוקי הגזירה
- תהיינה f,g גזירות ב
אזי:
תהי g גזירה ב ותהי f הגזירה ב
:
- תהי סדרה
.
- רוצים לומר ש
.
- אמנם
בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע ש
ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס.
- אם יש תת סדרה
של
עבורה
אזי
ולכן
.
- לכן
.
- כמו כן,
.
- לכן בכל מקרה קיבלנו כי
- סה"כ
.
נגזרת של חזקה
- עבור
מתקיים
- עבור חזקות בהן הביטוי מוגדר,
גם עבור
(לפי תכונות של פונקציות זוגיות ואי זוגיות, ובאפס לפי חישוב ישיר).
- חזקה:
לכל
, הוכחה בהמשך.
- בפרט:
- עבור
מתקיים
וכיוון שהפונקציה אי זוגית נובע שהנגזרת שווה לביטוי הזה גם לשאר ערכי x.
- דוגמא: חישוב הנגזרת של
נגזרת מנה
תהיינה f,g גזירות בנקודה x כך ש :
- נזכור כי
- אזי בנקודה x מתקיים:
פונקציות הופכיות ונגזרתן
- טענה: תהי
הפיכה ורציפה. ונניח כי היא גזירה בנק'
כך ש
.
- אזי
גזירה בנק'
ומתקיים כי
או בנוסח אחר-
- הוכחה:
- תהי
ונסמן
.
- אזי מתוך רציפות וחח"ע נובע כי
- דוגמא חשובה:
הפיכה וההופכית שלה נקראית
.
- הנגזרות של
פרק 6 - חקירה
משפט ערך הביניים
- תהי f רציפה בקטע
כאשר
.
- עוד נניח כי
וכן
.
- אזי קיימת נקודה
כך ש
- תהי f רציפה ב
כך ש
, הוכיחו שקיימת נק'
עבורה
- נעביר אגף ונביט בפונקציה
שצריך למצוא שורש שלה.
.
ולכן קיימת נקודה
עבורה
.
- לפי משפט ערך הביניים בקטע
קיימת נק' המאפסת את הפונקציה h.
- נעביר אגף ונביט בפונקציה
משפטי ויירשטראס
- פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - חסומה.
- פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - מקבלת מינימום ומקסימום.
משפט פרמה
- אם פונקציה גזירה בנק' קיצון מקומי, הנגזרת שווה שם לאפס.
- ההפך אינו נכון, ייתכן שהנגזרת תתאפס אך בנקודה לא יהיה קיצון ואף לא פיתול.
משפט רול
- תהי f רציפה ב
וגזירה ב
כך ש
אזי קיימת נקודה
כך ש
- תהי f רציפה ב
- כלומר, פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח, שמקבלת את אותו ערך בקצוות - הנגזרת שלה מתאפסת בנקודה כלשהי בקטע הפתוח.
- לפולינום מדרגה n יש לכל היותר n שורשים שונים.
משפט לגראנז' ותחומי עלייה וירידה
- פונקציה f נקראת עולה בתחום A אם לכל
מתקיים כי
- פונקציה f נקראת יורדת בתחום A אם לכל
מתקיים כי
- תהי f רציפה ב
וגזירה ב
אזי קיימת נקודה
כך ש
- כלומר קיימת נקודה בה השיפוע שווה לשיפוע המיתר בין שתי הנקודות בקצוות הקטע.
- תהי f רציפה ב
וגזירה ב
אזי f עולה בקטע
אם ורק אם
לכל
- כמו כן, באותם תנאים, אם
לכל
אזי
או שהפונקציה קבועה ב
ונגזרתה שווה אפס בקטע
- דוגמא
- יהי
מצאו כמה פתרונות יש למשוואה
משפט קושי (לגראנז' המוכלל)
- תהיינה f,g רציפות ב
וגזירות ב
כך ש
בקטע
.
- אזי קיימת נקודה
כך ש
- הוכחת משפט לגראנז' המוכלל, שמוכיח גם את משפט לגראנז' עצמו כמקרה פרטי.
- ראשית, כיוון ש
בקטע
נובע לפי רול כי
ולכן מותר לחלק בהפרש ביניהם.
ולכן לפי רול קיימת נק'
עבורה
וזה מה שרצינו להוכיח.
- (שימו לב שמותר לחלק ב
.)
- עבור
נקבל את משפט לאגראנז' הרגיל.
- ראשית, כיוון ש
כלל לופיטל
- תהיינה פונקציות כך ש
או
ונניח כי
אזי גם
משפט סדרי הגודל
- לכל
מתקיים כי:
דוגמאות נוספות
הוכחת כלל לופיטל בשני המקרים
אהבתם חדו"א 1? אז תעופו על חדו"א 2!